Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

TEOREMA : Agar xa bo’lganda (x) va (x) cheksiz kichik miqdorlar bo’lib, f(x) biror M soni bilan chegaralangan, ya’ni f(x) M , u holda (x)(x); (x) (x); f(x) (x); s(x) , s= sonst ; funksiyalar ham cheksiz kichik miqdorlar bo’ladi.
Isbot. (x) va (x) cheksiz kichik miqdorlar, ya’ni (x)=0,  (x)=0 bo’lgani uchun limit ta’rifiga asosan ixtiyoriy >0 son uchun shunday >0 topiladiki, 0<|x-a|< shartlarda |(x)|</2, |(x) |</2) tengsizliklar bir paytda o’rinli bo’ladi. Natijada 0<|x-a|< bo’lganda
|(x)(x)| |(x)|+|(x)| </2+/2=,
|(x) (x)|= |(x)| |(x)| </2 /2=²/2,
|f (x)  (x)|= |f (x)| | (x)| <|M| /2
| c (x)|=|c| |(x)| < |c| /2
tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bulardan va limit ta’rifiga asosan
((x)(x))=0, (x) (x)=0
f (x)  (x)=0, c (x)=0
natijalarni olamiz. Teorema isbotlandi.
Natija: Chekli sondagi cheksiz kichik miqdorning algebraik yig’indisi, ko’paytmasi yana cheksiz kichik miqdordan iborat bo’ladi. Bu natijani oldingi teoremani bir necha marta qo’llab isbotlash mumkin.
Lemma: f (x)=A tenglik o’rinli bo’lishi uchun f(x) funksiya f(x)=A+ (x) ko’rinishda bo’lishi zarur va yetarli,bunda (x)=0.
Lemma isboti limit va cheksiz kichik miqdor ta’rifidan kelib chiqadi.
Asosiy teorema: Agarda xa bo’lganda f(x) va g(x) funksiyalar chekli limitlarga ega bo’lsalar,
[f (x) g(x)] = f(x) g(x) (1)
cf (x)= c f (x) (2)
f(x) g(x) = f(x) g(x) (3)
tengliklar o’rinli bo’ladi. Agarda g(x)0 bo’lsa,
(4)
tenglik o’rinlidir.
Isbot. f (x)=A, g(x)=B bo’lsin. bu holda, lemmaga asosan, f(x)=A+(x), g(x)=B+(x) deb yoza olamiz. Bu yerda (x) va (x) xa bo’lganda cheksiz kichik miqdorlardir. Bu tengliklardan foydalanib
f (x) g(x) =(A+(x))  ( V+(x))=(AV)+( (x) (x))
natijani olamiz. Cheksiz kichik miqdorlar xossasiga asosan (x)=(x) (x) funksiya xa bo’lganda cheksiz kichik miqdor bo’ladi. bu holda yuqoridagi tenglikdan va lemmaga asosan
(f (x) g(x)) =AV= f(x) g(x)
tenglik o’rinli ekanligiga ishonch hosil qilamiz.
Teoremadagi qolgan tengliklar ham shu tarzda isbotlanadi.
Yuqorida ko’rsatilganidek, funksiya har doim ham limitga ega bo’lavermaydi. Shu sababli funksiya limitini xisoblashdan oldin, uning mavjudligini tekshirib ko’rishga to’g’ri keladi. Shu maksadda quyidagi teoremalarni isbotsiz keltiramiz:
Teorema A : Agar  (x) f(x)(x) tengsizliklar o’rinli bo’lib, xa bo’lganda (x) va (x) funksiyalarining qiymatlari mavjud va (x)= (x)=A limitlar mavjud bo’lsa, u holda xa bo’lganda f(x) funksiya uchun ham limit mavjud , ya’ni f(x)=A munosabat o’rinli bo’ladi.
Teorema B : Agarda f(x) funksiya o’suvchi (kamayuvchi) bo’lib yuqoridan (quyidan) biror M (m) soni bilan chegaralangan bo’lsa, u holda bu funksiya xa bo’lganda limitga ega va f(x)M ( f(x)m) shartni qanoatlantiradi.
Turli funksiyalarning limitini hisoblashda quyidagi tengliklardan foydalanish mumkin:
, =2.7182818284…….
,
, ,
bular matematikada ajoyib limitlar deb ataladi va ularning isboti kelgusi ma’ruzalarda beriladi.