Zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

Aniq integral ta’rifi. funksiya segmentda aniqlangan bo’lsin. segmentning shunday

bo’laklashlarni qaraymizki ularni mos diametrlaridan tashkil topgan

ketma—ketlik nolga intilsin: .

Bunday bo’laklashlarga nisbatan funksiyaning inte-ral yig’indilarini tuzamiz. Natijada segmentni bo’laklashlarga mos funksiyaning integral yig’indilari qiymatlaridan iborat quydagi:

ketma—ketlik hosil bo’ladi. Ravshanki bu ketma—ketlikning har bir hadi huqtalarga bog’liqdir.


3—ta’rif. Agar segmentni har qanday bo’laklashlar ketma-ketligi olinganda ham unga mos integral yig’indi qiymatlaridan iborat ketma—ketlik nuqtalarning tanlab olinishiga bog’liq bo’lmagan ravishda hamma vaqt bitta songa intilsa, bu son yig’indining dagi limiti deb ataladi. U

kabi belgilanadi.

Yig’indi limitini quyidagicha ham ta’riflash mumkin.

4–ta’rif. Agar son olingnda ham shunday son topilsaki, segmentni diametri bo’lgan har qanday bo’laklash uchun tuzilgan yig’indi ixtiyoriy nuqtalarda

tengsizliklarni qanoatlantirsa, son yig’indining dagi limiti deb ataladi.


5—ta’rif. Agar da funksiyaning integral yig’indisi chekli limitga ega bo’lsa, u holda funksiya segmentda integrallanuv-chi deyiladi, yig’indining chekli limiti esa funksiyaning segmentdagi aniq integrali deb ataladi. Funksiyaning aniq integrali

kabi belgilanadi.
Demak,
.
Bunda son integralning quyi chegarasi, son esa integralning yuqori chegarasi, segment integrallash oralig’i deb ataladi.

Agar da yig’indining limiti mavjud bo’lmasa yoki uning limiti cheksiz bo’lsa, u holda funksiya segmentda integrallanmaydi deyiladi.

funksiyaning segmentdagi integrali hisoblansin.
segmentni ixtiyoriy



bo’laklashni olib, funksiyaning integral yig’indisini topamiz:

Ravshanki,

Demak,
.
Xususan, bo’lganda quyidagiga egamiz:
.
. Ushbu funksiyaning segmentdagi integrali hisoblansin.
Ma’lumki, segmentda funksiyaning integral yig’indisi

bo’lib, bunda va
.
Bu tengsizlikni ga ko’paytirib topamiz:
.
Keyingi tengsizliklardan esa

tengsizliklar kelib chiqadi.
Demak,
.
Endi va yig’indilarni quyidagicha o’zgartirib yozib olamiz:

Agar ekanini e’tiborga olsak, u holda
.
Demak,
.
Bu munosabatdan

tengsizlik kelib chiqadi. So’ngra uchun

(bunda ) bo’lishidan da

bo’lishini topamiz.
Demak,
.
Bu esa ta’rifga ko’ra

ekanini bildiradi. ►
. segmentda Dirixle funksiyasi uchun aniq integral mav-jud emasligi ko’rsatilsin.
Dirixle funksiyasi uchun integral yig’idini hususan quyidagicha bo’lishini ko’rgan edik:



da yig’indi limitga ega emas. Demak, Dirixle funksi-yasi segmentda integrallanmaydi.

Odatda, yuqorida keltirilgan aniq integral Riman integrali, integral yig’indini Riman yig’indisi deyiladi.

Agar funksiya segmentda chegaralanmagan bo’lsa, u shu segmentda integrallanmaydi.