1-ma’ruza. Nomanfiy butun sonlar to‘plamining xossalari. Ma’ruza mashg‘ulotining rejasi

1-ma’ruza. Nomanfiy butun sonlar to‘plamining xossalari.
Ma’ruza mashg‘ulotining rejasi:

1. 
   Natural son va nol tushunchasining vujudga kelishi haqida
   qisqacha tarixiy ma’lumot.
   
2. 
   Nomanfiy butun sonlar to‘plamini to‘plamlar nazariyasi asosida qurish.
   
3. 
   Nomanfiy butun sonlarni taqqoslash.
   
4. 
   Nomanfiy butun sonlar yig‘indisi, uning mavjudligi va yagonaligi.
   
5. 
   Qo‘shish amalining xossalari.
   

1. Natural son va nol tushunchasining vujudga kelishi haqida qisqacha tarixiy malumot..Natural sonlar nazariyasi ham bir necha yo‘llar bilan aksiomatik qurilgan:

1. 
   to‘plam nazariyasi asosida (sanoq sonlar nazariyasi);
   
2. 
   Peano aksiomalari asosida (tartib sonlar nazariyasi);
   
3. 
   miqdor tushunchasi asosida (miqdor sonlar nazariyasi).
   

Natural son tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biridir. U butun matematika fani singari kishilar amaliy faoliyatlaridagi ehtiyojlar natijasida vujudga kelgan. Turli-tuman chekli to‘plamlarni bir-biri bilan taqqoslash zarurati ham natural sonlarning vujudga kelishiga sabab boidi.
O‘zining rivojlanish davrida natural sonlar tushunchasi bir nechta bosqichni o‘tdi. Juda qadim zamonlarda chekli to‘plamlarni taqqoslash uchun berilgan to‘plamlar orasida yoki to‘plamlardan biri bilan ikkinchi to‘plamning qism to‘plami orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatishgan, ya’ni bu bosqichda kishilar buyumlar to‘plamining sanogini ularni sanamasdan idrok qilganlar.
Vaqt o‘tishi bilan odamlar faqat sonlarni atashni emas, balki ularni belgilashni, shuningdek, ular ustida amallar bajarishni o‘rganib oldilar. Qadimgi Hindistonda sonlarni yozishning o‘nli sistemasi va nol tushunchasi yaratildi. Asta-sekin natural sonlarning cheksizligi haqidagi tasavvurlar hosil bo‘la boshladi.
Natural son tushunchasi shakllangandan so‘ng sonlar mustaqil obyektlar bo‘lib qoldi va ularni matematik obyektlar sifatida o‘rganish imkoniyati vujudga keldi. Sonni va sonlar ustida amallarni o‘rgana boshlagan fan «Arifmetika» nomini oldi.
Arifmetika qadimgi Sharq mamlakatlari: Vavilon, Xitoy, Hindiston, Misrda vujudga keldi. Bu mamlakatlarda to‘plangan matematik bilimlar qadimgi Gretsiyada rivojlantirildi va davom ettirildi. Arifmetikaning rivojlanishiga o‘rta asrlarda Hind, Arab dunyosi mamlakatlari va 0’rta Osiyo matematiklari, XVIII asrdan boshlab esa Yevropalik olimlar katta hissa qo‘shdilar. «Natural son» atamasini birinchi bo‘lib rimlik olim A.A.Boetsiy qolladi.
2. Nomanfiy butun son tushunchasi. Nomanfiy butun sonlar to‘plamini to‘plamlar nazariyasi asosida qurish XIX asrda G. Kantor tomonidan to‘plamlar nazariyasi yaratilgandan so‘ng mumkin boidi. Bu nazariya asosida chekli to‘plam va o‘zaro bir qiymatli moslik tushunchalari yotadi.
1-ta’rif. Agar A va B to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin bo‘lsa, bu to‘plamlar teng quvvatli deyiladi. A~B ko‘rinishda yoziladi.
«Teng quvvatlilik» munosabati refleksiv va tranzitiv bo‘lgani uchun u ekvivalentlik munosabati bo‘ladi va barcha chekli to‘plamlarni ekvivalentlik sinflariga ajratadi. Har bir sinfda turli elementli to‘plamlar yigilgan bo‘lib, ularning umumiy xossasi teng quvvatli ekanligidir.
2-ta’rif. Natural son deb, bo ‘sh bo‘lmagan chekli teng quvvatli to‘plamlar sinfining umumiy xossasiga aytiiadi.
Har bir ekvivalentlik sinfining umumiy xossasini uning biror to‘plami to‘la ifodalaydi. Har bir sinf xossasini ifodalovchi natural son alohida belgi bilan belgilanadi. A to‘plam bilan aniqlanadigan a son shu to‘plamning quvvati deyiladi va a = n(A) deb yoziladi. Masalan, 3 soni uch elementli to‘plamlar sinfining umumiy xossasini bildiradi va u bu sinfning istalgan to‘plami bilan aniqlanadi. 3 natural sonini ekvivalent to‘plamlar sinfming A={a; b;5}, B = {qizil, sariq, yashil}, C = {□; ∇; ○} kabi vakillarini ko‘rsatish bilan aniqlash mumkin.
Har bir chekli to‘plamga unga tegishli bo‘lmagan biror elementni qo‘shib, berilgan to‘plamga ekvivalent bo‘lmagan to‘plamni hosil qilamiz. Bu jarayonni davom ettirib, o‘zaro ekvivalent bo‘lmagan to‘plamlarning cheksiz ketma-ketligini va shu to‘plamlar bilan aniqlanadigan 1, 2, 3, n, ... ko‘rinishda belgilangan natural sonlar ketma-ketligini hosil qilamiz. Barcha natural sonlar to‘plamini N= {1; 2; 3; ...} ko‘rinishda yozishga kelishamiz.