12-Mavzu: Turg’unlik nazariyasi asoslari



Yüklə 34,89 Kb.
səhifə1/2
tarix12.06.2023
ölçüsü34,89 Kb.
#128787
  1   2

12-Mavzu: Turg’unlik nazariyasi asoslari.


Reja

  1. Turg’unlik tushunchasi.

  2. Lyapinov ma`nosida turg’unlik. Asimptotik turg’unlik haqidagi teoremalar.



1. Turg‘unlik tushunchasi.


Ko‘plab jarayonlarning kechishi oddiy differensial tenglamalar bilan tavsiflanadi. Bu tenglamalar cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lsa-da, tegishli jarayon bitta yechim bilan aniqlanadi va u ma’lum bir boshlang‘ich ma'lumotlarga mos keladi. Boshlang‘ich qiymatlar sal o‘zgarganda hosil bo‘luvchi yechim vaqt o‘tishi bilan dastlabki yechimga yaqinligicha qoladimi (turg‘un yechim) yoki undan uzoqlashib ketadimi (noturg‘un yechim)? degan savolning javobini bilish juda katta amaliy ahamiyatga ega. Chunki odatda boshlang‘ich qiymatlar xatolikka ega bo‘luvchi o‘lchashlar, taqribiy hisoblashlar orqali aniqlanadi va bu qiymatlarning sal o‘zgarishining yechimga ta’sirini bilish nihoyatda muhimdir. Agar yechim vaqt (t) o‘tishi bilan dastlabkisidan uzoqlashib ketsa, o‘rganilayotgan jarayonning tabiatini katta t larda oldindan aytib boimaydi.
Turg'uniikning turli ta’riflarini Puasson, Lagranj, Lyapunov va boshqalar kiritishgan. Biz Lyapunov ma’nosidagi turg‘unlik bilan tanishamiz.



𝒅𝒚 = 𝒀 (𝒕, 𝒚

, … 𝒚


), (𝒊 = 𝟏, 𝒏) (1)

𝒅𝒕
𝒊 𝟏 𝒏

oddiy differensial tenglamalar sistemasi berilgan va 𝜕𝑌𝑖 (𝑖 = ̅1̅̅,̅𝑛̅) mavjud hamda
𝜕𝑥𝑘

𝑖
uzluksiz bo’lsin; 𝜑𝑖(𝑡)(𝑖 = 1̅̅̅,̅𝑛̅) sistemaning 𝑡 = 𝑡0 bo’lganda 𝜑𝑖(𝑡𝑖) = 𝜑0 (𝑖 = 1̅̅̅,̅𝑛̅) shartni qanoatlantiruvchi yechimi bo’lsin. Agar ∀𝜀 > 0 uchun, shunday topilib

𝛿(𝜀) > 0
|𝑦𝑖(𝑡0) − 𝜑0| < 𝛿 (𝑖 = 1, 𝑛)

𝑖
tengsizlikni qanoatlantiradigan ixtiyoriy 𝜑𝑖(𝑡) (𝑖 = ̅1̅̅,̅𝑛̅) dan farqli (1) sistemaning
𝑦𝑖(𝑡) yechimi uchun 𝑡 ≥ 𝑡0 bo’lganda
|𝑦𝑖(𝑡) − 𝜑𝑖(𝑡)| < 𝜀 (𝑖 = 1, 𝑛) (2) tengsizliklar bajarilsa (1) sistemaning 𝜑𝑖(𝑡)(𝑖 = 1̅̅̅,̅𝑛̅) yechimi Lyapunov boyicha turg’un deyiladi.

𝑖
Ya’ni boshlang’ich qiymatlari 𝜑0 (𝑖 = ̅1̅̅,̅𝑛̅) dan juda oz farq qiladigan har qanday yechim ∀𝑡 ≥ 𝑡0 lar uchun 𝜑𝑖(𝑡) (𝑖 = 1̅̅̅,̅𝑛̅) yechimdan juda oz farq qilsa bu yechim turg’un yechim deb ataladi.
Agar har qanday kichik 𝛿 > 0 uchun hech bo’lmaganda birta 𝑦𝑖(𝑡) yechim (2) tengizlikni qanoatlantirmasa 𝜑𝑖(𝑡)(𝑖 = 1̅̅̅,̅𝑛̅) yechim turgunmas deb ataladi.
Agar 𝜑𝑖(𝑡)(𝑖 = 1̅̅̅,̅𝑛̅) yechim turg’un yechim bo’lishi bilan birgalikda,



lim |𝑦𝑖(𝑡) − 𝜑𝑖(𝑡)| = 0, (𝑖 = 1, 𝑛)


𝑡→∞
shartlarni qanoatlantirsa, bu yechim asimptotik turg’un deb ataladi.

Shuni qayd qilish kerakki, birgina (3) shartlarning bajarilishidan 𝜑𝑖(𝑡)(𝑖 = 1̅̅̅,̅𝑛̅) yechimning turg’unligi kelib chiqmaydi.
1-misol. 𝑑𝑦 = 0
𝑑𝑥
tenglamaning barcha yechimlari turg’un yechimlardan iborat.

1
Haqiqatan ham 𝑦1(𝑡) , 𝑦1(𝑡0) = 𝑦0 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi

1
yechim bo’lsin , bu yerda 𝑦0 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡

2
Tenglamaning 𝑦2(𝑡0) = 𝑦0 boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi boshqa yechimini olamiz. Bu yechimlar uchun quyidagi.
|𝑦2(𝑡) − 𝑦1(𝑡)| = |𝑦0 − 𝑦0|
2 1
tenglik barcha t-lar uchun o’rinli. Demak, ixtiyoriy 𝜀 > 0 uchun shunday 𝛿 > 0
topiladiki, (masalan 𝜀 = 𝛿) |𝑦0 − 𝑦0| < 𝛿 bo’lganda, 𝑦2(𝑡) va 𝑦1(𝑡) yechimlar uchun



quyidagi
2 1
|𝑦2(𝑡) − 𝑦1(𝑡)| < 𝜀

tengsizlik barcha 𝑡 ≥ 𝑡0 lar uchun, o’rinli bo’ladi. Demak, tenglamaning ixtiyoriy yechimi turg’un yechim ekan, lekin bu yechimlar asimptotik turg’un yechim bo’la olmaydi, chunki:
lim |𝑦2(𝑡) − 𝑦1(𝑡)| = |𝑦0 − 𝑦0| ≠ 0.



  1. misol.


𝑡→∞
𝑑𝑦1 = 𝑦

2

, 𝑑𝑦2 = −2𝑦



1
− 2𝑦

𝑑𝑥 2
sistemaning umumiy yechimi
𝑑𝑥 1 2

𝑦1 = 𝑒−𝑡[𝑦0 cos 𝑡 + (𝑦0 + 𝑦0) sin 𝑡]
1 1 2
𝑦2 = 𝑒−𝑡[𝑦0 cos 𝑡 − (2𝑦0 + 𝑦0) sin 𝑡]
1 1 2
ko’rinishga ega, bu yerda 𝑦0 va 𝑦0 mos ravishda 𝑦1 va 𝑦2 funksiyalarning 𝑡 = 0
1 2
bo’lgandagi qiymatlari.
Sistemaning 𝑡 = 0 da: 𝑦1 = 0, 𝑦2 = 0 shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy.
𝑦1 = 𝑒−𝑡 sin 𝑡
𝑦2 = 𝑒−𝑡 (cos t − sin 𝑡 )
yechimini olamiz. Sistemaning 𝑡 = 0 bo’lganda:




𝑦0 = 𝑦0 + 𝛿 = 𝛿
1 1

𝑦0 = 𝑦0 + 𝛿 = 1 + 𝛿


2 2
shartlarni qanoatlantiruvchi boshqa xususiy

𝑦1
= 𝑒−𝑡[𝛿 cos 𝑡 + (1 + 2𝛿) sin 𝑡]


2
𝑦 = 𝑒−𝑡[(1 + 𝛿) cos 𝑡 − (1 + 3𝛿) sin 𝑡]
yechimini qaraylik.U xolda:
−𝑡
𝑦1 − 𝑦1 = 𝑒 [𝛿 cos 𝑡 + 2𝛿 sin 𝑡]

2
𝑦 − 𝑦2 = 𝑒−𝑡[𝛿 cos 𝑡 − 3𝛿 sin 𝑡]
tengliklardan funksiyalarning boshlang’ich qiymatlari o’zgarishi yetarlicha kichik bo’lganda |𝑦1 − 𝑦1| va |𝑦2 − 𝑦2|, barcha 𝑡 ≥ 0 lar uchun yetarlicha kichik bo’lishi kelib chiqadi, bundan tashqari ∀𝛿 > 0 uchun

lim
𝑡→+∞
(𝑦𝑖 − 𝑦𝑖) = 0 (𝑖 = 1,2)


ya'ni 𝑦1 va 𝑦2 yechimlar 𝑦1 va 𝑦2yechimlarga 𝑡 → ∞ da asimptotik yaqinlashadi, demak berilgan sistemaning yechimlari asimptotik turg’un yechimlar bo’ladi.
𝑥𝑖(𝑡) = 𝑦𝑖(𝑡) − 𝜑𝑖(𝑡) (𝑖 = 1, 𝑛) (4)

almashtirish yordamida (1) sistemaning 𝜑𝑖(𝑡) yechimini tekshirish masalasini



𝑑𝑥𝑖 = 𝑋 (𝑥
, 𝑥
… , 𝑥
), 𝑋 (0) = 0 (5)

𝑑𝑡
𝑖 1 2
𝑛 𝑖

sistemaning travial (aynan nolga teng) yechimini tekshirish masalasiga olib kelinadi, ya’ni (5) sistemaning koordinata boshida joylashgan muvozanat nuqtasining turg’unligi tekshiriladi.

Lyapunov funksiyasi


𝑉(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛), 𝑉(0, … ,0) = 0 funksiya koordinata boshining
𝑛

𝑖
ℎ (∑ 𝑥2 ≤ ℎ)
𝑖=1
atrofida musbat aniqlangan deyiladi, agar u koordinata boshida nolga teng bo’lib, h -
atrofning qolgan barcha nuqtalarida musbat qiymat qabul qilsa, ya’ni 𝑉 > 0 , bo’lganda.

Agar h – atrofida 𝑉 < 0 bo’lsa, u xolda V – manfiy aniqlangan funksiya deyiladi. Agar koordinata boshining h – atrofida 𝑉 ≥ 0 bo’lsa, V musobat ishorali; 𝑉 ≤ 0 bo’lsa, V manfiy ishorali funksiya deyiladi. Agar V funksiya h - atrofida ham musbat, ham manfiy qiymatlar qabul qilsa, bunday funksiya ishora almashtiruvchi funksiya deyiladi.
Masalan, 𝑉 = 𝑥2 + 𝑥2 + 𝑥2 uch o’lchovli 𝑅3 fazoda musbat aniqlangan
1 2 3
funksiya; 𝑉 = 𝑥2 + 𝑥2 − 𝑥2 𝑅3 da ishora almashtiruvchi funksiya; 𝑉 = 𝑥2 + 𝑥2 𝑅3
1 2 3 1 2
da 0𝑥3 o’qida nolga teng bo’lganligi sababli musbat ishorali, 𝑅2 tekislikda esa bu funksiya musbat aniqlangan funksiya bo’ladi.
Musbat va manfiy aniqlansa funksiyalar aniq ishorali funksiya deyiladi. Musbat va manfiy funksiyalar doimiy ishorali funksiya deyiladi.

Lyapunovning turg’unlik haqidagi teoremasi.


Agar berilgan

𝑑𝑥𝑖 = 𝑋 (𝑡, 𝑥
, … , 𝑥
), 𝑋 (0) = 0 (1)

𝑑𝑡
𝑖 1
𝑛 𝑖

tenglamalar sistemasi uchun, koordinata boshining h - atrofida musbat aniqlangan
𝑉(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) funksiya mavjud bo’lib, bu funksiyani (1) sistemaga ko’ra hisoblangan
𝑛
𝑑𝑉 𝜕𝑉

𝑑𝑡 = 𝜕𝑥
𝑋𝑘(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) (2)

𝑘=1 𝑘
hosilasi manfiy ishorali funksiya bo’lsa (1) sistemaning travial yechimi turg’un bo’ladi.
1-misol 𝑑𝑥1 = −𝑥 𝑥4 , 𝑑𝑥2 = 𝑥4𝑥

𝑑𝑡
1 2 𝑑𝑡 1 2

sistemaning travial yechimi turg’unligini aniqlang.
𝑉(𝑥1, 𝑥2) = 𝑥4+𝑥4 musbat aniqlangan funksiyani olamiz. Bu holda:

1
𝑑𝑉 𝜕𝑉
=

2
𝑑𝑥1 + 𝜕𝑉
𝑑𝑥2 = 4𝑥3(−𝑥

𝑥4) + 4𝑥3(𝑥4𝑥




) = 0

𝑑𝑡
𝜕𝑥1
𝑑𝑡
𝜕𝑥2
𝑑𝑡
1 1 2
2 1 2

istalgancha kichik 𝑥1
, 𝑥2
lar uchun va 𝑑𝑉 = 0 , demak, Lyapunov teoremasidan
𝑑𝑡

yechimning turg’unligi kelib chiqadi.
2-misol 𝑑2𝑥 + 𝑎 𝑑𝑥 + 𝑓(𝑥) = 0, 𝑓(0) = 0

𝑑𝑡2
𝑑𝑡

tenglamaning trivial yechimi turg’unligining tekshiramiz, bu yerda 𝑎 ≥ 0; 𝑓(𝑥)
uzluksiz funksiya va 𝑥 = 0 nuqta atrofida 𝑥 bilan bir xil ishoraga ega, ya’ni 𝑥𝑓(𝑥) >
0 tenglamani

𝑑𝑥1 = 𝑥

, 𝑑𝑥2 = −𝑎𝑥

− 𝑓(𝑥 )



𝑑𝑡
2 𝑑𝑡 2 1

sistema bilan almashtiramiz va bu sistema uchun Lyapunov funksiyasini quyidagi



) 1 2 𝑥1
ko’rinishda olamiz: 𝑉(𝑥 , 𝑥 = 𝑥 + 𝑓(𝑠) 𝑑𝑠 bu funksiyani sistemaga ko’ra

1 2 2 2 0
hisoblangan hosilasi

𝑑𝑉 𝜕𝑉
=

𝑑𝑥1 + 𝜕𝑉
𝑑𝑥2 = 𝑓(𝑥


)𝑥

+ 𝑥


(−𝑎𝑥

− 𝑓(𝑥


)) =


𝑑𝑡
𝜕𝑥1
𝑑𝑡
𝜕𝑥2
𝑑𝑡
1 2 2 2 1


2
−𝑎𝑥2 ≤ 0.
Demak, tenglamaning trivial yechimi turg’un yechim bo’ladi

  1. misol: Quyidagi

𝑑𝑥1 = −(𝑥
− 2𝑥
)(1 − 𝑥2 − 3𝑥2)

𝑑𝑡
1 2 1 2

𝑑𝑥2 = −(𝑥

+ 𝑥




)(1 − 𝑥2 − 3𝑥2)

𝑑𝑡
1 2 1 2

sistemaning 𝑥1 = 𝑥2 = 0 munozanat nuqtasining turg’unligini tekshiramiz.
Lyapunov funksiyasi sifatida 𝑉 = 𝑥2 + 2𝑥2 musbat aniqlangan funksiyani
1 2
olamiz, u holda bu funksiyani sistemaga ko’ra hisoblangan hosilasi
𝑑𝑉 = −2(1 − 𝑥2 − 3𝑥2)(𝑥2 + 2𝑥2)


𝑑𝑡
1 2 1 2

yetarlicha kichik 𝑥1
, 𝑥2
lar uchun 𝑑𝑉 ≤ 0 bo’lganiligi sababli sistemaning
𝑑𝑡

𝑥1 = 0, 𝑥2 = 0 yechimi turg’un bo’ladi.



Yüklə 34,89 Kb.

Dostları ilə paylaş:
  1   2




Verilənlər bazası müəlliflik hüququ ilə müdafiə olunur ©azkurs.org 2024
rəhbərliyinə müraciət

gir | qeydiyyatdan keç
    Ana səhifə


yükləyin