6-Ma’ruza: Matrisaning xos son va xos vektorlarni topish Reja

6-Ma’ruza: Matrisaning xos son va xos vektorlarni topish Reja

_{6-Ma’ruza: Matrisaning xos son} va xos vektorlarni topish
Reja:
1.
Xos son va xos vektorlarini topish masalasi.
2.
A.N.Krilov metodi.
3.
A.N.Krilov metodi yordamida matrisaning xos son va xos vektorlarini topish.

Tayanch iboralar: Xos qiymat, xos vektor, minimal ko’phad, diagonal minor, nol bo’lmagan vektor.
Agap biror noldan farqli vektor uchun

(11.1)
tenglik bajarilsa, u holda son A kvadrat matrisaning xos soni yoki xarakteristik soni deyiladi. Bu tenglikni qanoatlantiradigan har qanday noldan farqli vektor A matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektori deyiladi. Ko’rinib turibdiki, agar xos vektor bo’lsa, u holda ( — ixtiyoriy son) vektor ham xos vektor bo’ladi.

Matrisaning xos soni va xos vektori haqidagi ma’lumotlar matematikada va uning boshqa sohalardagi tatbiqlarida ham keng qo’llaniladi. Bu yerda iterasion prosessning yaqinlashishi va yaqinlashish tezligi V matrisaning moduli bo’yicha eng katta xos sonining miqdoriga bog’liq edi.
Astronomiya, mexanika, fizika, ximiyaning qator masalalarida ayrim matrisalarning barcha xos sonlarini va ularga mos keladigan xos vektorlarini topish talab qilinadi. Bunday masala xos sonlarning to’liq muammosi deyiladi.
Ayrim masalalarda esa, masalan, yadro masalasida, matrisaning moduli bo’yicha eng katta yoki eng kichik xos sonini topish talab qilinadi. Tebranuvchi jarayonlarda esa matrisa xos sonlarining modullari bo’yicha ikkita eng kattasini aniqlashga zaruriyat tug’iladi. Matrisalarning bitta yoki bir nechta xos son va xos vektorlarini topish xos sonlarining qismiy muammosi deyiladi.
Bir jinsli (11.1) sistemaning noldan farqli yechimi mavjud bo’lishi uchun
(11.2)
shart bajarilishi kerak. Bu tenglama odatda A matrisaning asriy (bu termin ayetronomiyadan kirib qolgan) yoki xarakteristak tenglamasi deyiladi. (11.2) tenglamannng chap tomoni
(11.3)
-darajali ko’phad bo’lib, u A matrisaning xarakteristik ko’phadi deyiladi. Ayrim hollarda (11.3) ko’phad o’rnida A matrisaning xos ko’phadi deb ataluvchi
(11.4)
ko’phad bilan ish ko’riladi. Matrisaning xos sonlari uning xos ko’phadining ildizlari bo’ladi. (11.4) ko’phad - darajali bo’lganligi uchun u ta ildizga ega. A matrisaning xos soniga mos keladigan xos vektorlarini topish uchun
(11.5)
bir jinsli tenglamalar sistemasning noldan farqli yechimini topish kerak. Shunday qilib, xos son va xos vektorlarni topish masalasi uch bosqichdan iborat: 1) ni qurish, 2) tenglamani yechib, barcha xos sonlarni topish, 3) barcha larga mos kelgan xos vektorlarni (11.5) dan topish. Bu bosqichlarning har biri yetarlicha murakkab hisoblash masalalaridan iboratdir. Haqiqatan ham, (11.2) determinantning har bir satri va har bir ustunida qatnashganligi uchun, bunday determinantni ning darajalariga nisbatan yoyib chiqish, ya’ni (11.3) tenglikni hosil qilish katta qiyinchilnk tug’diradi. Algebradan ma’lumki, umumiy holda, ning koeffisiyentlarini A matrisaning ishora bilan olingan - tartibli bosh minoralari ning yig’indisiga teng:
(11.6)
va hokazo. Demak,
. (11.7)
Yaqqol ko’rish mumkinki, A matrisaning -tartibli diagonal minoralarining soni ga teng. Demak, -tartibli matrisani xos ko’phadi ning kozffisiyentlarini bevosita hisoblash uchun

ta har xil tartibli determinantlarni hisoblash kerak. Yetarlicha katta uchun bu masela katta xisoblashlarni talab qiladi.

Viyet teoremasidan foydalgnib, quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:

Bu tengliklarni (11.6) tengliklarning birinchisi va (11.7) tekglik bilan solishtirsak,

kelib chiqadi.
Shunday qilib, matrisaning barcha xos sonlarining yig’nndisi uning izi tr ga (inglizcha trace — iz so’zidan) teng bo’lib, ularning ko’paytmasi shu matrisaning determinantiga teng. Bu yerdan xususiy holda quyidagi kelib chiqadi: A matrisaning hyech bo’lmaganda birorta xos soni nolga teng bo’lishi uchun bo’lishi zarur va kifoyadir.
Xos son va xos vektorlarni topish metodlari ikki gruppaga bo’linadi: aniq yoki to’g’ri metodlar va iterasion metodlar. Biriichi gruppaga kiradigan metodlar bo’yicha matrisaning xos ko’phadi topiladi (ya’ni koeffisiyentlar hisoblanadn), keyin uning ildizlarini topib xos sonlarni hosil qilinadi va nihoyat, xos sonlardan foydalanib xos vektorlar quriladi. Bu metodlarning aniq metodlar deyilishiga sabab shundan iboratki, agar matrisa elementlari aniq berilgan bo’lsa va hisoblashlar aniq olib borilsa, natijada xarakteristik ko’phad koeffisiyentlarining qiymatlari ham aniq topiladi va xos vektorlarning komponentlari xos sonlar orqali aniq formulalar bilan ifodalanadi. Aniq metodlar, odatda, xos sonlarning to’liq muammosini yechish uchun qo’llaniladi.
Iterasion metodlarda xarakteristik sonlar xarakteris-tik ko’phad koeffisiyentlarini aniqlamasdan turib, bevosita hisoblanadi. Bu esa hisoblash masalasini juda soddalashtiradi: yuqori darajali algebraik tenglamalarni yechishdan ozod qiladi. Iterasion metodlarda xos sonlarni hisoblash bilan bir vaqtda xos vektorlar ham topiladi. Bu metodlarning sxemasi iterasion xarakterga ega. Bu metodlarda xos son va xos vektorlar sonli va vektorlar ketma-ketligining limiti sifatida topiladi.