Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

Bir jinsli

chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi

n noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining umumiy ko‘rinishi

^a11 ^x1
 a₁₂ x₂

 ... 

^a1n ^xn
 b₁

^a x  a x  ...  a x  b
^ 21 1 22 2 2n n 2



_...............................................

^^{an1 x1}

• 
  a_{n 2} x₂
  

 ... 

^ann ^xn
 b_n

x_i – noma’lumlar (i = 1, 2, … , n)
a_ij – sistemaning koeffitsiyentlari
b_i – sistemaning o’ng tomoni (ozod hadlar)

_ a₁₁ a₁₂ ... a_{1n }
^ a a ... a ^

A  ^

21 22 2n _
... ... ... ... ^
– sistemaning matritsasi

^ a a ... a ^
 n1 n 2 nn 

^{ a}11 ^a12
^ a a
...
...
^a1n ^b1 ^
a b ^

– sistemaning

A*  ^
21 22 2n 2 _
kengaytirilgan

^ ... ... ... ... ... ^

^ a a ... a b ^
matritsasi

 n1 n 2 nn n 

Sistemaning yechimi – sistemadagi x_i

noma’lumlarning o’rniga qo’yganda hamma tenglamalarni to’g’ri sonli tenglikka aylantiruvchi c₁, c₂, … , c_n sonlar to’plami

Sistema yagona yoki cheksiz ko’p yechimga ega bo’lishi, shuningdek yechimga ega bo’lmasligi ham mumkin.

Kamida bitta yechimi mavjud bo‘lgan sistemani birgalikda deyiladi.


Bitta ham yechimga ega bo‘lmagan sistemani birgalikda bo’lmagan deyiladi.
Sistema koeffitsiyentlaridan tuzilgan determinant sistemaning aniqlovchisi deyiladi.


a₁₁ a₁₂ ... a_{1n
 } a₂₁ a₂₂ ... a_2n
   

^an1
^an 2
...
^ann

1. 
   sistemaning matritsaviy ko’rinishi:
   

^{ a}11 ^a12
^ a a
... a_{1n }
... a ^
 ^b₁ 
 _b 
 ^x₁ 

AX = B
 _x 

A  ^
21 22 2n _{
B }  ² 
_{X }  ² 

^ ... ... ... ... ^
 ... ^
 ... ^

^ a a ... a ^
 _b 
 _x 

 n1 n 2
nn 
 n 
 n 

AX = B 



X = A ^-1B

A^-1AX = A ^-1B
 EX = A ^-1B

Demak, (1) sistemaning yechimi sistema koeffitsiyentlaridan tuzilgan A matritsaga teskari matritsa bilan (agar A^-1 mavjud bo’lsa) sistema ozod hadlaridan tuzilgan B matritsa ko’paytmasiga teng.

Teorema.

Agar n noma’lumli n ta chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining aniqlovchisi noldan farqli bo‘lsa,

u yagona yechimga egadir.

Misol.

_5x  y  z  0
_ 5 1 1_
 ⁰ 

^x  2 y

• 
  3z
  

 14
A  ^ 1 2 3 ^
B  ^14 ^

^    

^4x

• 
  3y
  
• 
  2z
  

 16
^ 4 3 2 ^
₁₆ 

    
 = det A = 5(4–9) + 1(2 – 12) – 1(3 – 8) = –25 – 10 +5 = –30  0
_ A A ... A _T
11 12 1n
₁ ^ A A ... A ^

_A1 _

det A ^
21 22 2n _
. . . . . . . . . ^

 




^ A_n1 A_{n 2} ... A_nn ^

A  ^2 3 5 11 3 2	^A12	  ^1 4	3 2	 10;	A  ^1 13 4		^2 5; 3
1 1 A21   3 2  1	^A22	 5 4	1 2	 14;	A   ^5 23 4		^^1 19 3
1 1		5	1			5		1
A31  2 3  1	^A32	  1	3	 16;	A33  1		 11; 2

;

_ 5 1
1 _
 ^x   ¹ 

A^1  
^{1 }10 14


16 ^
X  ^
y ^ 
A^1  B
_  ₂ 

₃₀  
   

^ 5 19 11 ^
 _z   ₃ 

_{ }    


x =1; y = 2; z = 3.

Gabriel Kramer – shveysariyalik matematik

(1704-1752)

Aniqlovchisi noldan farqli bo‘lgan tenglamalar sistema yechimining Kramer formulasi:

Δ – sistemaning determinanti;

Δ_i – sistema determinantining i-ustuni o‘rniga uning ozod hadlarini yozish bilan hosil qilingan determinantlar

_x  2 y  z  6


^2x 3y  2z  2


^3x  y  z  12

 2		2	2	2		2	10	4	 1
		3	12	1		3	 6	4

_x  3,

y




^ 2 ,

z


^  1.

Karl Fridrix Gauss – nemis matematigi

(1777-1855)

Gauss usulida tenglamalar sistemasida elementar shakl almashtirishlarni bajarib, noma’lumlarni ketma-ket yo‘qotish orqali bir noma’lumli tenglama hosil qilinadi va bu noma’lumning qiymatini topib, o’rniga qo’yish usuli bilan qolgan noma’lumlarning qiymatlari topiladi.

Sistemada elementar shakl almashtirishlar:

• 
  sistemadagi ixtiyoriy ikkitata tenglama- ning o‘rinlarini almashtirish;
  
• 
  sistemadagi ixtiyoriy tenglamaning barcha hadlarini 0 dan farqli songa ko‘paytirish (bo‘lish);
  
• 
  sistemadagi ixtiyoriy tenglamaning hadlarini bitta songa ko‘paytirib, boshqa biror tenglama mos hadlariga qo‘shish.
  

_2x₁  x₂
 x₃  5

^x  2x  3x  3

Misol.

^ 1 2 3

^7x  x  x  10
 ^{1 2 3}
Sistemaning kengaytirilgan matritsasini tuzamiz :

_ 2 1 1 5
_{ } 1 2 3
3_{ } 1 2 3
3_{ } 1 2 3
3_

A*  ^ 1 2 3 3^ ~ ^ 2 1 1 5 ^ ~ ^ 0 5 7 11 ^ ~ ^ 0 5 7 11 ^
       
^ 7 1 1 10 ^{ } 7 1 1 10 ^{ } 0 15 22 31^{ } 0 0 1 2 ^
       