Ehtimollar nazariyasining matematik asoslari

EXTIMOLLIK NAZARIYASI VA MATEMATIK STATISTIKA ELEMENTLARI VA ULARNI ISHONCHLILIKNI XISOBLASHDA QO’LLANILISHI.

Reja:

1. 
   Ehtimollik haqida tushuncha.
   
2. 
   Ehtimollarni qo’shish va ko’paytirish.
   
3. 
   Binomial taqsimot
   
4. 
   Tanlanma. Tajriba natijalarini statistik ishlanmasi.
   

Ehtimollik haqida tushuncha.

Tasodifiy hodisa – bu berilgan sharoitda ruy beradigan yoki ro’y bermaydigan hodisa. Tanga tashlanganda raqam tomoni bilan tushishi, lotereya bo’yicha yutuq chiqishi, otilgan o’qning nishonga tegishi tasodifiy hodisalarga misol sifatida qaralishi mumkin. Shu bilan birga amaliyot nuqtai-nazardan alohida olingan hodisalar bilan emas, balki etarlicha ko’p sonli, ommaviy xarakterga ega hodisalarning qonuniyatlarini o’rganish maqsadga muvofiq. Masalan, korhona uchun alohida maxsulot emas, balki tayorlangan maxsulotlardan qanchasi sifatli yoki yaroqsiz ekanini bilish ahamiyatliroq.
Shu kabi masalalarni echish uchun alohida tajriba ya’ni sinash o’tkaziladi va ularning oqibatlari o’rganiladi. Har bir tajriba ma’lum shartlar va sharoitlar asosida bir necha marotaba o’tkazish mumkinligi bilan xarakterlanadi. Bunda bir-birini rad etuvchi va ro’y berish imkoniyatlari bir hil bo’lgan joiz oqibatlar (elementar hodisalar) to’plami alohida o’rin tutadi. Shu to’plamni biz  orqali belgilaymiz.
1-Misol. o’yin kubchasi bir marta tashlansin. Bunda elementar hodisalar to’plami ={e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆} ko’rinishga ega, bu yerda e_i – «i – raqamli tomoni bilan tushdi» elementar hodisasi.
2-Misol. Elektr asbobni ishdan chiqmasdan hizmat qilish. Bunda har bir elementar hodisa musbat haqiqiy son bilan ustma-ust tushadi, ya’ni elementar hodisalar to’plami
=(0, +) ko’rinishga ega.
Amaliyotda elementar hodisalardan tashqari, murakkabroq hodisalar qiziqtiradi. Masalan, o’yin kubchasi bir marta tashlanganda « juft raqamli tomoni bilan tushdi» hodisasi, yoki «elektr asbob 3000 soat mobaynida ishdan chiqmasdan hizmat qildi» kabi hodisa.
 - hodisa xech qanday elementar hodisalarni o’z ichiga olmaydi (ya’ni, xech qanday xollarda ro’y bermaydi), shuning uchun ro’y bermasligi aniq hodisa,  hodisa esa doimo ro’y berib mukarrar hodisa deb yuritiladi.
Ehtimollar nazariyasi tasodifiy hodisalarni ro’y berish qonuniyatlarini o’rganadi. Shuning uchun tasodifiy xodisa ruy berishi imkoniyatlarini kattaligini bildirish uchun qiymatlari [0,1] segmentda qabul qiladigan maxsus funktsiya – ehtimollik kiritilishi lozim.
Tabiiyki, bunda mukarrar hodisaning ehtimolini 1 ga, ro’y bermasligi aniq xodisaning ehtimolini esa 0 ga teng deb qabul qilishimiz lozim. Bundan tashqari elementar hodisalarning ro’y berish imkoniyatlari bir hil deb hisoblaymiz.
Mashhur matematik Kolmogorov A.N. ehtimol tushunchasini qo’yidagi aksiomalar orqali kiritgan:
Tasodifiy xodisaning ehtimolligi deb qo’yidagi aksiomalarga bo’ysinadigan R funktsiyaga aytiladi:

1. 
   0P(A) 1  A; 2) P( )= 1 ; 3) Agar A₁ , A₂ , …, A_n , …. hodisalar juft-jufti bilan birgalikda ro’y bermasa (ya’ni A_i A_j=   i  j bo’lsa), u holda P( ) = .
   

Berilgan A va B hodisalar uchun A  B birlashma A va B hodisalardan kamida bittasi ro’y berishidan iborat bo’lgan hodisadir. Unga A va B hodisalar yig’indisi aytiladi va u ko’pincha A + B orqali belgilanadi.
Xuddi shunday A  B kesishma A va B hodisalardan bir vaqtda ruy berishidan iborat bo’lgan hodisadir. Unga A va B hodisalar ko’paytmasi aytiladi va u ko’pincha A B orqali belgilanadi.
Hodisalar yig’indisi va ko’paytmasi tabiiy ravishda cheksiz sondagi
A₁ , A₂ , …, A_n , …. hodisalar uchun ham kiritilishi mumkin, bunda ular uchun mos ravishda va belgilashlar qabul qilingan.
A hodisaga qarama-qarshi hodisa sifatida =/A hodisa qaraladi va u A hodisa ro’y bermasligidan iborat bo’lgan hodisadir.
O’zaro kesishmaydigan hodisalar ya’ni birgalikda ro’y bermaydigan hodisalar deyiladi. Shuning uchun o’zaro qarama-qarshi hodisalar birgalikda ro’y bermaydi.