Funksional qator tushunchasi

4-MA’RUZA
Funksional qatorlar. Asosiy tushunchalar. Darajali qatorlar. Abel teoremasi. Darajali qatorning yaqinlashish intervali. Darajali qatorlarning xossalari. Funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish. Teylor va Makloren qatorlari.
Funksional qator tushunchasi
Ushbu

funksiyalar ketma-ketligidagi har bir funksiya oraliqda berilgan bo‘lsin. Bu ketma-ketlik hadlaridan tuzilgan
(1)
ifoda funksional qator deyiladi. (1) funksional qator qisqacha

kabi ham yoziladi:

Masalan,
(2)

qatorlar funksional qatorlar bo‘ladi.
Agar o‘zgaruvchiga biror tayin qiymat berilsa, u holda (1) funksional qator sonli qator
(3)
ga aylanadi. Masalan, (2) qator da quyidagi

sonli qatorga aylanadi.
Ravshanki, o‘zgaruvchining ga tegishli turli qiymatlarida, umuman aytganda, turli sonli qatorlar hosil bo‘ladi.
1-ta’rif. Agar (3) sonli qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, (1) funksional qator nuqtada yaqinlashuvchi deyilib, nuqta esa funksional qatorning yaqinlashish nuqtasi deyiladi.
Agar (3) sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, (1) funksional qator nuqtada uzoqlashuvchi deyilib, nuqta esa funksional qatorning uzoqlashish nuqtasi deyiladi.
(1) funksional qator oraliqqa tegishli bo‘lgan o‘zgaruvchining ba’zi qiymatlarida yaqinlashuvchi, ba’zi qiymatlarida esa uzoqlashuvchi bo‘lishi mumkin.
2-ta’rif.  o‘zgaruvchining (1) qator yaqinlashadigan barcha qiymatlaridan iborat to‘plam (1) qatorning yaqinlashish sohasi deyiladi. Bu holda (1) funksional qator to‘plamda yaqinlashuvchi deb yuritiladi. Ravshanki, bo‘ladi.
Fuksional qatorning yaqinlashish sohalarini topishda sonli qatorlarda keltirilgan ma’lumotlardan foydalaniladi.

Misollar. 1. Ushbu

funksional qatorning yaqinlashish sohasi topilsin.
Bu qator hadlari mahraji ga teng bo‘lgan geometrik progressiyani hosil qiladi. Demak, berilgan qator geometrik qator bo‘ladi. Ma’lumki, geometrik qator da yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak, berilgan qator da yaqinlashuvchi, uninig yaqinlashish sohasi esa oraliqdan iborat.
2. Ushbu

fuksional qatorning yaqinlashish sohasi topilsin.
Bu qator uchun

Dalamber alomatidan foydalanib topamiz:

Demak, ya’ni da qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yaqinlashish sohasi bo‘ladi.