Irratsional funksiyalarni integrallash

Aim.uz

Irratsional funksiyalarni integrallash

Agar y=f(x) funksiya x argumentning kasr ko’rsatkichli darajalari ishtirok etgan algebraik ifodadan iborat bo’lsa, u irratsional funksiya deb ataladi. Masalan:

, , lar irratsional funksiyalardir.
Har qanday irratsional funksiyadan olingan aniqmas integral elementar funksiyalarda ifodalanmasligi mumkin.
dx integral binomial integral deb ataladi. Bu yerda r,s,p-ratsional va a,b-haqiqiy sonlardan iborat. Agar r,s,p sonlarning uchalasi ham butun son bo’sa, unda integral ostida ratsional funksiya bo’ladi va bu holda, binomial integral elementar funkisiyalarda ifodalanadi. Agar r,s,p sonlardan kamida bittasi butun son bo’lmasa, u holda integral ostida irratsional funksiya hosil bo’ladi. Bunda binomial integral faqat quyidagi uch holda elementar funksiyalarda ifodalanishi mumkin.
1) p –butun son. Bu holda, , almashtirish qilinadi. Bu yerda m integral ostidagi r va s sonlarining umumiy maxraji. Agar , deb olsak, unda = , , bo’ladi va binomial integral
ko’rinishni olib, ratsional funksiyadan olingan integralga keladi.
2) butun son. Bu holda bo’lsa, unda almashtirishdan foydalaniladi. Bunda (a+bx^s)^p=t^k, x^r= dt bo’lib, binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:
dt.

1. 
   butun son. Bu holda p= bo’lsa, unda +b= almashtirish qilinadi.
   

Bunda , , ,

2. 
   bo’ladi va binomial integral quyidagi ratsional kasrli integralga keladi:
   

Navbatda integralni qaraymiz. Aytaylik, soni kasrlarning umumiy mahraji bo’lsin. , almashtirish qilamiz. U holda, har bir kasr ko’rsatkichli daraja butun ko’rsatkichli darajaga almashadi va natijada, integral ostidagi funksiya t ning ratsional funksiyasidan iboart bo’ladi. Endi

ko’rinishdagi integralni qaraymiz. Bu integral

almashtirish bilan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. Bu yerda k soni kasrlarning umumiy maxraji.
Ba’zi hollarda ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi. Bunday integrallar Eyler almashtirishlari deb ataluvchi quyidagi almashtirishlar yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.
I. Eylerning birinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,
almashtirish qilamiz. U holda,
+ bo’ladi. Bundan ni ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.

Bu yerda ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Shunday qilib, bo’lib u ning ratsional funksiyasi bo’ladi.
II. Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,
almashtirish qilamiz. (aniqlik uchun oldidagi ishorani olamiz). U holda ( )²=( )², Bundan ni ning quyidagi ratsional funksiyasini aniqlaymiz.
. Shunday qilib, va lar orqali ratsional ifodalangani uchun x, dx va larning t orqali ifodalarini berilgan integralga qo’yib t ga nisbatan ratsional funksiyaning integraliga kelamiz.
III. Eylerning uchinchi almashtirishi. Aytaylik va lar uchxadning haqiqiy ildizlari bo’lsin.
= deb olamiz. U holda, + +c= (x- )(x- ) bo’lgani uchun = , (x- )(x- ) ²t²,
(x- )= ² bo’ladi. Bundan esa ni hosil qilamiz. x, dx va lar t ning ratsional funksiyasi bo’lganligi uchun, berilgan integral t ning ratsional funksiyasini integralidan iborat bo’ladi.
Ba’zi bir irratsional funksiyalarni trigonometrik almashtirishlar yordamida ham hisoblash mumkin.
integralni qaraymiz. Bu yerda a o va 0 deb olamiz.
Ildiz ostidagi uchhadning ko’rinishini o’zgartiramiz.
=a ²+ , deb olsak, bo’ladi va tenglik hosil bo’ladi. Bu yerda ni va larni qiymatlari turlicha bo’lishi mumkin. Ularning qiymatlariga qarab, ba’zi bir belgilashlardan so’ng berilgan integral quyidagi integrallardan biriga keltiriladi.
I. ,
,
III. .
Bunda I-integral t= tgz almashtirish orqali, II-integral almashtirish orqali, III-integral almashtirish orqali
integralni hisoblashga keltiriladi.