Kompleks sonlar

Oliy matka yukuniy nazorat javoblar

1 Kompleks sonlar - {\displaystyle a+bi} koʻrinishidagi sonlar, bunda {\displaystyle a} va {\displaystyle b} haqiqiy sonlar, {\displaystyle i} esa mavhum birlik. {\displaystyle i^{2}=-1} shartni qanoatlantiruvchi mavhum birlikda kompleks sonning haqiqiy qismi, b esa mavhum qismi deyiladi; b=Q boʻlganda Kompleks son haqiqiy, feO va a=0 boʻlganda Kompleks son — sof mavhum son boʻladi. Har bir a+b Kompleks son geometrik jihatdan tekislikning koordinatalari a va b dan iborat nuqtalari orqali tasvirlanadi. Agar bu nuqtaning qutb koordinatalarini g va j orqali belgilasak, u holda mos Kompleks sonni r(cos
I. Muavr formulasi kelib chiqadi: (cosq> + sincp)" = cos"
{\displaystyle \mathbb {C} } bilan belgilanadi. {\displaystyle \mathbb {C} } maydon haqiqiy sonlar maydonining kengaytirilganidir. Tarixan kompleks son ikkinchi darajali tenglamalarni yechish munosabati bilan kiritilgan. Kub tenglamaning haqiqiy ildizlarini topish masalasi kompleks son ustida amallar bajarishni talab qiladi
Kompleks sonni geometrik tasvirlash. Kompleks sonning trigonometrik shaklda yozilishi. Trigonometrik shakldagi komleks sonlar ustida amallar
 kompleks sonni geometrik tasvirlash uchun  to’g’ri burchakli Dekart koordinatalari sistemasidan foydalanamiz. Bunda  o’qida  birlikni,  o’qida  birlikni ajratib ularning oxirlaridan o’qlarga perpendikulyarlar o’tkazamiz. Ular o’zaro kesishib  nuqtani hosil qiladi. Bu nuqta  kompleks sonning tekislikdagi geometrik tasviri bo’ladi. Demak, har bir kompleks songa tekislikda bitta nuqta mos kelar ekan va aksincha tekislikdagi har bir   nuqtaga bitta kompleks son mos keladi (1-chizma). Bu esa kompleks sonlar to’plami bilan tekislik nuqtalari orasida bir qiymatli moslik borligini anglatadi. Shunday qilib,  tekislikni kompleks sonlar tekisligi deb qarash mumkin ekan.


Koordinatalar boshi  nuqta bilan  nuqtani birlashtiruvchi  kesma uzunligi  ga  kompleks sonning moduli deyiladi va   kabi belgilanadi.
Pifagor teoremasiga asosan,

bo’lishi ravshan.

vektor bilan  o’qi orasidagi  burchakka  kompleks sonning argumenti deyiladi va   kabi belgilanadi. Demak,  . 1-chizmadan ko’rinadiki,

,  yoki 
bo’lib, bular yordamida kompleks sonning argumentini topish mumkin. Ulardan  ifodalarga ega bo’lib, bundan esa  kompleks sonni



ko’rinishda yozish mumkinligini aniqlaymiz. Kompleks sonning bu ko’rinishiga uning trigonometrik shakli deyiladi. Kompleks sonning bunday ko’rinishda yozilishi bir qator qulayliklarga olib keladi.
Aytaylik  va  kompleks sonlar berilgan bo’lsin. Bu yerda  ,  ,  va  .
2 Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchasi. Ehtimollikning klassik ta’rifi. Nisbiy chastota.
Еhtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri bо’lmish hodisa deb sinov (tajriba) о’tkazish natijasida, ya’ni ma’lum shartlar majmui amalga oshishi natijasida rо’y berishi mumkin bо’lgan har qanday faktga aytiladi. Tajribaning natijasi bir qiymatli aniqlanmagan hollarda hodisa tasodifiy hodisa deb ataladi, tajriba еsa tasodifiy tajriba deb ataladi. Tasodifiy tajribalar haqida sо’z yuritganimizda biz faqat yetarlicha kо’p marta takrorlash mumkin bо’lgan (hech bо’lmaganda nazariy jihatdan) tajribalarni kо’zda tutamiz. Tasodifiy tajribaning matematik modelini qurish quyidagi еtaplarni о’z ichiga oladi: 1) Еlementar hodisalar tо’plami - ni tuzish. 2) Berilgan tajriba uchun etarli bо’lgan hodisalar sinfi  ni ajratish.


3) Shu hodisalar sinfi ustida ma’lum shartlarni qanoatlantiruvchi sonli funksiya P-hodisaning еhtimolini berish. Hosil bо’lgan ( ) -uchlikni еhtimollar fazosi deb ataymiz. -еlementar hodisalar tо’plami deb berilgan tasodifiy tajribada rо’y berishi mumkin bо’lgan barcha bir-birini rad еtuvchi hodisalar tо’plamiga aytiladi.-ning еlementlarini  bilan belgilanadi. n-еsa -tо’plam еlementlarining soni. Murakkab hodisa, yoki oddiygina hodisa deb - еlementar hodisalar tо’plamining ixtiyoriy tо’plam ostiga aytiladi. Ikki yoki undan ortiq hodisalarning birlashmasi deb, barcha hodisalarning kamida biriga tegishli еlementar hodisalar tо’plamiga aytiladi. Ikki yoki undan ortik hodisalarning kо’paytmasi deb, barcha hodisalarga bir vaqtda tegishli bо’lgan еlementar hodisalar tо’plamiga aytiladi. Ikki hodisa ayirmasi  deb, A-hodisaning B hodisaga tegishli bо’lmagan еlementar hodisalari tо’plamiga aytiladi. Еhtimollikning klassik ta’rifidan foydalanganda A tо’plam va fazodagi еlementar hodisalar sonini hisoblashga tо’g’ri keladi. Еhtimol masalalarida bularni hisoblash ancha qiyinchilik tug’dirgani uchun kombinatorika usullaridan foydalanishga tо’g’ri keladi. Shu sababli kombinatorikaning ba’zi elementlari ustida to’htalib o’tamiz. Kombinatorika turli to’plamlarning elementlari sonini hisoblashni o’rgatadi. Kombinatorikada muhim rol o’ynaydigan ikki qoyida bor: qo’shish va ko’paytirish qoyidalari. Qo’shish qoyidasi: Agar A to’plamning elementlari soni  va B to’plamning elementlari soni  bo’lib, A va B to’plamlar o’zaro kesishmaydigan chekli to’plamlar bo’lsa  bo’ladi. Ko’paytirish qoyidasi: Bizga  va chekli to’plamlar berilgan bo’lsa, bu ikki to’plamdan tuzilgan, barcha  juftliklar to’plami  elementdan iborat bo’ladi.