Mavzu: Differensial tenglamalarni operasion hisob yordamida yechish. Reja: Kirish

Mavzu: Differensial tenglamalarni operasion hisob yordamida yechish.
Reja:
Kirish.

1. 
   Laplas almashtirishning ta’rifi.
   
2. 
   O’zgarmas koeffitsentli chiziqli differensial tenglamalar.
   
3. 
   Chiziqli differensial tenglamalar sistemasini operatsion usulda yechish.
   

Mavzu bo’yicha misollar
Xulosa
Adabiyotlar


Kirish.
Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalarda nomaʼlum funksiya i orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiklarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi. 2. Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir katorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.
1-ta’rif. Erkli o’zgaruvchi, noma’lum funksiya hamda uning hosilalari yoki differensiallari orasidagi munosabatga differensial tenglama deyiladi. Noma’lum funksiya faqat bitta o’zgaruvchiga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglamaga oddiy differensial tenglama deyiladi. Noma’lum funksiya ikki yoki undan ko’p o’zgaruvchilarga bog’liq bo’lsa, bunday differensial tenglamalarga, xususiy hosilali differensial tenglamalar deyiladi.
2-ta’rif. Differensial tenglamaga kirgan hosilalarning eng yuqori tartibiga differensial tenglamaning tartibi deyiladi. y 3x , y cos x 2 ′′ = ′′′ = tenglamalar mos ravishda ikkinchi va uchinchi tartibli tenglamalarga misol bo’ladi. Umumiy holda n-tartibli differensial tenglama ( , , , ,..., ) 0 )( ′ ′′ = n F x y y y y ko’rinishda belgilanadi.
3-ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb tenglamaga qo’yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday differensiallanuvchi y = ϕ(x)funksiyaga aytiladi. Differensial tenglama yechimining grafigiga integral chiziq deyiladi. Masalan, 2x, y x dx dy = = bu berilgan differensial tenglamaning yechimi bo’lib, bu holda integral chiziq paraboladan iborat bo’ladi. Differensial tenglamalar nazariyasining asosiy masalasi berilgan tenglamaning barcha yechimlarini topish va bu yechimlarning hossalarini o’rganishdan iborat. Algebraik tenglamalardagidek hamma differensial tenglamalarni yechish mumkin bo’ladigan umumiy usullar yo’q. Differensial tenglamalarning har bir turiga xos yechish usulidan foydalaniladi.
y''(t)+a1y'(t)+a2y(t)= (t) differensial tenglamani operatsion hisob yordamida yechaylik, bunda a1, a2 R y(0)=y0, y'(0)=y'0 y(t)- tenglama echimini topish kerak.
Operatsion hisob usuli matematikaning ba’zi muhim ahamiyatga ega bo‘lgan bo‘limlarida, masalan, differensial tenglamalarni yechishda, elektrotexnikaning nazariy asoslariga tegishli bo‘lgan bir qator masalalarni hal qilishda, elektr zanjirlaridagi o‘tish jarayonlarini o‘rganishda va boshqa ko‘p masalalarni hal qilishda salmoqli tatbiqqa egaligini aytamiz.
Ma’lumki, ko‘pincha amaliy masalalarni yechishda, dastlab uning matematik modeli fizik, mexanik, kimyoviy va boshqa qonuniyatlar asosida tuziladi. Matematik model asosan algebraik, differensial, integral va boshqa tenglamalardan iborat bo‘ladi. Oddiy differensial tenglamalar esa juda ko‘p muhandislik masalalarini yechishda uchraydi. Demak, differensial tenglamalarning ma’lum shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlarini topish katta ahamiyatga ega.
Differensial tenglamalar ikkita asosiy sinfga bo‘linadi: oddiy differensial tenglamalar va xususiy hosilali differensial tenglamalar.
Xususiy hosilali differensial tenlamalarga keyinroq batafsil to‘xtalamiz.
Oddiy differensial tenglamalarda faqat bir o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiya va uning hosilalari qatnashadi, ya’ni
f(x,y,y’,...,y ⁽ⁿ⁾)=0 (1)
(1) tenglamada qatnashuvchi hosilalarning eng yuqori tartibi differensial tenglamalarning tartibi deyiladi. Agar tenglama izlanuvchi funksiya va uning hosilalariga nisbatan chiziqli bo‘lsa, uni chiziqli differensial tenglama deyiladi.
Differensial tenglamaning umumiy yechimi deb, uni ayniyatga aylantiruvchi x va n ta c₁,c₂,...,c_n o‘zgarmaslarga bog‘liq ixtiyoriy funksiyaga aytiladi. Masalan (1) tenglamaning umumiy yechimi y(x,c₁,c₂,...,c_n) ko‘rinishdagi funksiyalardan iborat. Agar c₁,c₂,...,c_n o‘zgarmaslarga muayyan qiymatlar berilsa, umumiy yechimdan xususiy yechim hosil qilinadi. Xususiy yechimni topish uchun c₁,c₂,...,c_n o‘zgarmaslarning mos qiymatlarini aniqlash lozim. Buning uchun esa yechimni qanoatlantiruvchi qo‘shimcha shartlarga ega bO‘lishimiz kerak. Agar differensial tenglama n-tartibli bo‘lsa, yagona xususiy yechimni topish uchun xuddi shuncha qo‘shimcha shartlar kerak. Xususan, 1-tartibli tenglama f(x,y,y’)=0 ning umumiy yechimi y(x,c) dagi s o‘zgarmasni topish uchun 1 ta qo‘shimcha shartning berilishi kifoya.
qo‘shimcha shartlar berilishiga ko‘ra differensial tenglamalar uchun 2 xil masala qo‘yiladi:

1.