Reja asosiy tushunchalar

R E J A

1. 
   Asosiy tushunchalar
   
2. 
   Yaqinlashuvchi qatorlar. Koshi teoremasi
   

3 . Musbat qatorlar
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati

Asosiy tushunchalar

Biz mazkur bobda, sonli qatorlarni, ularning yaqinlashishi, uzoqlashishi, yaqinlashish alomatlari hamda yaqinlashuvchi qatorlarning xossalarini o’rganamiz. Ushbu
a₁, a₂, a₃, , a_n, (1)
haqiqiy sonlar ketma—ketligi berilgan bo’lsin. 1—ta’rif. Quyidagi
a₁  a₂  a₃  a_n  ( 2)
 ifoda qator ( sonli qator ) deb ataladi. Uni a_n kabi belgilanadi:
n1

a_n  a₁  a₂  a₃  a_n .
n1
( 1) ketma–ketlikning a₁, a₂, a₃, , a_n, elementlari qatorning hadlari deyiladi, a_n esa qatorning umumiy (n– chi ) hadi deyiladi. ( 2) qatorning hadlaridan quyidagi
A₁  a₁,
A₂ a₁ a₂ ,
A3 a1 a2  a3,
.................................
A_n a₁ a₂  a_n ,
.......................................
yig’indilarni tuzamiz . Ular qatorning qismiy yig’indilari deyiladi. Demak, ( 2) qator berilgan holda har doim bu qatorning qismiy yig’indilaridan iborat ushbu A_n:
A₁, A₂, A₃, , A_n,
sonlar ketma –ketligini hosil qilish mumkin.
2—ta’rif. Agar n _ da ( 2) qatorning qismiy yig’indilaridan iborat
A_n ketma–ketlik chekli limitga ega, ya’ni
lim A_n  A ( AR)
n
bo’lsa , ( 2) qator yaqinlashuvchi deyiladi.
Bu limitning qiymati A son ( 2) qatorning yig’indisi deyiladi va quyidagicha yoziladi:

A a₁ a₂  a_n  a_n
n1
3—ta’rif. Agar n_ da ( 2) qatorning qismiy yig’indilaridan iborat A_n ketma–ketlikning limiti cheksiz bo’lsa yoki bu limit mavjud bo’lmasa, u holda ( 2) qator uzoqlashuvchi deyiladi. Masalan: 1) Ushbu
1 1 1
1   
12 23 (n 1)n
qator yaqinlashuvchi, chunki
A_n 1 1  1  1 1^_1 1^_ _^1  1_^ ^_ 1  1_^  2 1 ,
12 23 (n 1)n  2  2 3  n 1 n n
lim A_n  2 .
n

2. 
   Quyidagi 123n qator uzoqlashuvchi, chunki
   

A_n 1 23 n  n(n ^1)
2
bo’lib,
lim A_n  .
n

2. 
   Quyidagi 1111qator ham uzoqlashuvchi , chunki
   

An _1_1__{ }1_ _0, agar n juft son bo'lsa, _1, agar n toq son bo'lsa
bo’lib, A_n ketma–ketlik limitga ega emas .
1—misol. Geometrik progressiya a, aq,,aq^n1, hadlaridan tuzilgan
a aq aq² aq^n1 
qatorni yaqinlashuvchilikka tekshirilsin. Odatda bu qator geometrik qator deyiladi.
Ravshanki,
² aqⁿ¹  a  aqⁿ . (q 1)
A_n  a aq aq 
1 q

Agar q 1 bo’lsa ,
a
lim A_n  n 1 q
bo’ladi . Demak, bu holda geometrik qator yaqinlashuvchi va uning yig’in–
disi ^a songa teng . 1q
Agar q 1 bo’lsa , lim A_n  _ bo’lib, qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
n
Agar q 1 bo’lsa, n_ da A_n  na  _ bo’lib qator uzoqlashuvchi, q _1 bo’lganda esa A_n ketma–ketlik limitga ega emas. Demak, bu holda ham qator uzoqlashuvchi bo’ladi.

Shunday qilib geometrik qator q 1 bo’lganda yaqinlashuvchi, q 1 bo’lganda esa uzoqlashuvchi bo’ladi. 2—misol. Quyidagi
1_ ¹ _ ¹ __ ¹ _ (3)
2 3 n
qatorni uzoqlashuvchi bo’lishi ko’rsatilsin. Bu qator garmonik qator deb ataladi.
( 2) qatorning birinchi 2^k ta (k _N) hadidan tuzilgan 1
A₂k 1     2k
qismiy yig’indisini olib, unu quyidagicha yozib olamiz.

A₂k  ^1 12^_  ^_13  14^_  _^15  16  71  81_^  _^19  101  16 1 ^_  _

  2k¹1 1  2k11_ 2  21k _.
Endi ushbu
    ,
        4  ,
 ¹  ¹  ¹  8  ,
16 1616

     
k11 1 2k11 2 21k 21k 21k 21k 2_k1 
2 
tengsizliklarni etiborga olsak, unda
A₂k 1 k 
tengsizlikning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Ravshanki, ^A₂k ketma—ketlik o’suvchi va limn A₂k  . Shunday qilib, garmonik qator uzoqlashuvchi.
3—misol. Ushbu

1_ ¹ _ ¹ _ ¹ __ (_1)^n1 _ ¹ _ (4)
2 3 4 n
qatorni yaqinlashuvchiligi, yig’indisi ln 2 ga tengligi ko’rsatilsin. Bu qatorning qismiy yig’indisini yozamiz:

A_n 1 1  1  1  (1)^n1  1 .
2 3 4 n
Ma’lumki,

ln(1 x)  x  x2  x3  x4  (1)n  xn  _rn(x)
2 3 4 n
bunda 0_x_1 uchun
1
r_n(x) 
n 1
tengsizlik o’rinli . Yuqoridagi formulada x1 deb topamiz:
ln2  A_n  r_n(1) ,
natijada ushbu
1
A_n ln2  r_n(1) 
n 1
tengsizlikka kelamiz. Undan
lim A_n  ln 2
n
kelib chiqadi. Demak, (4) qator yaqinlashuvchi va uning yig’indisi ln2 ga teng.
Aytaylik

a_n  a₁  a₂  a₃  a_n 
n1
qator berilgan bo’lsin. Bu qatorning dastlabki m ta hadini tashlash natija-sida hosil bo’lgan ushbu
 a_m1  a_m2  a_n (5)
nm1
 qator a_n qatorning ( m— chi hadidan keyingi ) qoldig’i deyiladi.
n1
2. Yaqinlashuvchi qatorlar. Koshi teoremasi
1⁰. Yaqinlashuvchi qatorning xossalari. Biror

an a1  a2  an  (2)
n1
qator berilgan bo’lsin. Agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u ma’lum xossalarga ega bo’ladi.
1—xossa. Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, uning istalgan (5) qoldig’i ham yaqinlashuvchi bo’ladi va aksincha.

(2) qator berilgan bo’lsin. Biror m natural sonni tayinlab, (5) qatorning qismiy yig’indisini A_k bilan belgilaylik:
Ak  am1 am2  amk .
Ravshanki ,
A_k  A_mk  A_m A_n  A_m  A_nm (n  m) (6) bunda A_m a₁  a₂  a_m bo’ladi.
(2) qator yaqinlashuvchi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra
lim A_mk  A. ( A— chekli son)
k
bo’ladi. k _ da (11.6) tenglikdan limitga o’tib topamiz:
lim A_k  A A_m.
k
Bu esa (5) qatorning yaqinlashuvchi ekanini bildiradi.
Endi (5) qator yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra
lim A_k  A ( A— chekli son)
k
bo’ladi. (6) tenglikda n_ da limitga o’tsak, u holda

lim A_n  A A_m
n
bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa (2) qatorning yaqinlashuvchi ekanini bildiradi. Shunday qilib, qatorning dastlabki chekli sondagi hadlarini tashlab yuborish yoki qatorning boshiga chekli sondagi yangi hadlarni qo’shish uning yaqinlashuvchiligi xususiyatiga ta’sir qilmaydi.
1—natija. Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, uning qoldig’i
rm  am1 am2  amk 
m  da nolga intiladi.
Haqiqatan ham (2) qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi A bo’lsin, u holda

A Am  rm , bo’lib,

rm  A Am

lim r_m  AA 0
m
bo’ladi.
2—xossa. Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi A bo’lsa, u holda

can  ca1 ca2 can  (.7)
n1
qator ham yaqinlashuvchi va uning yig’indisi cA ga teng bo’ladi (c  0  n ga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas son).
(7) qatorning qismiy yig’indisini A_n¹ bilan belgilasak, u holda
A_n¹ сa₁ ca₂ ca_n  c(a₁ a₂ a_n)  сA_n
bo’lib, undan
lim A_n¹ cA n
bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa (.7) qatorning yaqinlashuvchi bo’lishini va uning yig’indisi cA ga teng ekanini bildiradi. Bu xossa yaqinlashuvchi qatorlarda ushbu
c(a₁  a₂  a_n ) сa₁ ca₂ ca_n 
munosabatning o’rinli bo’lishini ifodalaydi. 3—xossa. Agar

a_n a₁  a₂  a_n ,
n1

b_n b₁ b₂ b_n 
n1
qatorlar yaqinlashuvchi bo’lib, ularning yig’indisi mos ravishda A va B ga teng bo’lsa, u holda

(an bn ) (a1 b1)  (a2 b2 )  (an bn )  (8)
n1
qator ham yaqinlashuvchi va uning yig’indisi A B ga teng bo’ladi.
 
a_n va b_n qatorlar yaqinlashuvchi bo’lsin. Demak , bu qator-ning
n1 n1
qismiy yig’indilari ( A_n va B_n lar ) uchun lim A_n  A, lim B_n B teng-liklar
n n
o’rinli bo’ladi . (8) qatorning qismiy yig’indilarini C_n bilan belgi-lab topamiz:
C_n (a₁ b₁) (a₂ b₂) (a_n b_n)  (a₁  a₂  a_n ) (b₁ b₂ b_n)  A_n  B_n
Bundan
lim C_n A B.
n
Keyingi tenglikdan xossaning isboti kelib chiqadi.
 
2—natija. Agar a_n va b_n qatorlar yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda
n1 n1

(ca_n  lb_n)
n1
qator ham yaqinlashuvchi va
  
(ca_n lb_n )  ca_n lb_n
n1 n1 n1
tenglik o’rinli bo’ladi ( bunda c,l n ga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas sonlar).
4—xossa. Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, bu qatorning umumiy
hadi a_n, n   da nolga intiladi.
(2) qator yaqinlashuvchi bo’lsin, ya’ni lim A_n  A ( A— chekli son).
n
Agar
an  An  An1
bo’lishini e’tiborga olsak, u holda limitlar xossalariga ko’ra
lim a_n lim (A_n  A_n1) A A  0
n n
bo’lishini topamiz.
Eslatma. Qatorning umumiy hadi n _ da nolga intilishdan uning
yaqinlashuvchi bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi.
Masalan. ^{Garmonik qator} _n^1 ¹_n ning umumiy hadi a_{n } ¹_n bo’lib, u n _ da nolga intiladi, ammo bu qator uzoqlashuvchi.
Yuqorida keltirilgan 4—xossa qator yaqinlashishning zaruriy shartini ifodalaydi.
2⁰. Koshi teoremasi. Aytaylik ,

a_n a₁  a₂  a_n 
n1
qator berilgan bo’lib,
A_n a₁  a₂  a_n
uning qismiy yig’indisi bo’lsin.

1—teorema. a_n qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun 0
n1
olinganda ham shunday n₀ N topilib, n  n₀ va m _1,2,3 lar uchun

Anm  An  an1  an2  anm 
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Bu teorema muhim nazariy ahamiyatga ega bo’lib, undan amaliy masalalarni hal etishda foydalanish qiyin bo’ladi. 3 . Musbat qatorlar