Takrorli o‘rin almashtirishlar

Takrorli o‘rin almashtirishlar. Kombinatorikada oldin qaralgan birlashmalardan tashqari tarkibidagi elementlari takrorlanishi mumkin bo‘lgan boshqa birlashmalar ham o‘rganiladi. Masalan, takrorlanuvchi elementlar qatnashgan o‘rin almashtirishlar, o‘rinlashtirishlar va gruppalashlar.
Avval o‘rganilgan o‘rin almashtirishlar shunday tuzilmalar ediki, ular tarkibidagi elementlar bir-biridan farq qilardi. Endi o‘rin almashtirishlar tarkibidagi elementlar takrorlanishi mumkin bo‘lgan holni qaraymiz. Tabiiyki, aynan bir xil elementlar o‘rinlari almashtirilishi natijasida yangi o‘rin almashtirish hosil bo‘lmaydi. Shuning uchun tarkibidagi elementlari soni o‘zgarmaganda elementlari takrorlanishi mumkin bo‘lgan o‘rin almashtirishlar soni turli elementlardan tashkil topgan o‘rin almashtirishlar soniga qaraganda kichik bo‘ladi.
Faraz qilaylik, qandaydir kortejning ta elementlari orasida bir xil (aynan bir xil) ta birinchi tur, bir xil ta ikkinchi tur, va hokazo, bir xil ta - tur elementlar bo‘lsin, bu yerda , ,… – hech bo‘lmaganda bittasi 1dan farqli natural sonlar.
1- ta’rif. Bu ta elementlarning o‘rinlarini imkoniyati boricha almashtirishlar natijasida hosil bo‘lgan kortejlar (kombinatsiyalar) takrorlanuvchi elementlar qatnashgan o‘rin almashtirishlar (qisqacha, takrorli o‘rin almashtirishlar) deb ataladi.
ta elementlari orasida ta birinchi tur, ta ikkinchi tur, va hokazo, ta
- tur bir xil elementlar bo‘lgan takrorli o‘rin almashtirishlar sonini bilan belgilaymiz.
1- teorema. Takrorli o‘rin almashtirishlar soni uchun

formula o‘rinlidir, bu yerda – elementlar soni, – turlar soni.
Isboti. Har bir o‘rin almashtirishdagi elementlar soni ga teng. Bu ta elementlarni quyidagi tartibda joylashtirib, o‘rin almashtirishlardan birini qaraymiz: birinchi bo‘lib barcha ta birinchi tur, ulardan keyin barcha ta ikkinchi tur, va hokazo, oxirda barcha ta - tur elementlar joylashgan bo‘lsin. Qaralayotgan takrorli o‘rin almashtirishda birinchi tur elementlar soni ga teng bo‘lgani uchun ularning mumkin bo‘lgan hamma o‘rin almashtirishlari soni ga teng. Ammo bu elementlar bir-biridan farq qilmaganligi sababli ularning o‘rinlarini almashtirish natijasida yangi takrorli o‘rin almashtirish hosil bo‘lmaydi.
Qaralayotgan takrorli o‘rin almashtirishda ikkinchi tur elementlarning o‘rinlarini almashtirishlar soni bo‘lib, bu yerda ham bir-biridan farq qilmagan elementlar o‘rinlarini almashtirishlar jarayonida yangi takrorli o‘rin almashtirish hosil qilinmaydi. Ikkinchi tur elementlarning o‘rinlarini almashtirishlar birinchi tur elementlarning o‘rin almashtirishlariga bog‘liqsiz ravishda amalga oshirilishi mumkinligini ta’kidlaymiz.
Uchinchi tur elementlarning o‘rinlarini almashtirishlar soni bo‘lib, ularning ham hech qaysi biri yangi takrorli o‘rin almashtirish hosil qilmaydi. Bu o‘rin almashtirishlar ta birinchi tur elementlarning o‘rinlarini almashtirishlarga va ta ikkinchi tur elementlarning o‘rinlarini almashtirishlarga, jami, ko‘paytirish qoidasiga asosan, ta o‘rin almashtirishlarga bog‘liqsiz ravishda amalga oshirilishi mumkin.
Shunday davom etib, qaralayotgan takrorli o‘rin almashtirishda oxirgi - tur elementlar o‘rinlarini almashtiramiz. Bunday o‘rin almashtirishlar soni ga teng bo‘lib, bu o‘rin almashtirishlar ham yangi takrorli o‘rin almashtirishni hosil qilmaydi. Bu o‘rin almashtirishlarni birinchi tur, ikkinchi tur va hokazo ( )- tur elementlarning jami soni, umumlashgan ko‘paytirish qoidasiga asosan, bo‘lgan o‘rin almashtirishlariga bog‘liqsiz ravishda bajarish mumkin.
Shunday qilib, ta o‘rin almashtirishlarni har birida tadan bir xil o‘rin almashtirishlar bo‘lgan qismlarga ajratildi deb hisoblash mumkin. Demak, biz izlagan takrorli o‘rin almashtirishlar soni bo‘ladi, bu yerda . ■