Yoy uzunligini hisoblash. Yoy uzunligini deferensiali reja: Yoy uzunligi tushunchasi

28-Mavzu: TO’G’RILANUVCHI YOY UZUNLIGI. YOY UZUNLIGINI HISOBLASH. YOY UZUNLIGINI DEFERENSIALI

REJA:

1. 
   Yoy uzunligi tushunchasi.
   
2. 
   Parametrik ko`rinishda berilgan egri chiziq uzunligini hisoblash.
   
3. 
   Qutb koordinatalar sistemasida berilgan egri chiziqning uzunligini hisoblash.
   
4. 
   Yoy differensiali
   

To‘g‘ri burchakli koordinatalar sistemasida yassi yoy uzunligini hisoblash. Aytaylik, y=f(x) funksiya [a,b] kesmada aniqlangan, uzluksiz va l shu funksiya grafigi bo‘lsin. (20-rasm). Yassi l egri chiziqning uzunligini topish talab qilinsin. Yassi l egri chiziqning uzunligini s bilan belgilaymiz.

Avval AB yoyini uzunligi deganda nimani tushunishni aniqlab olamiz. Buning uchun [a,b] kesmani ixtiyoriy ravishda a=x₀₁<…_n=b nuqtalar yordamida n-ta bo‘lakka bo‘lamiz. belgilash kiritamiz. Har bir 20-rasm

nuqtadan Oy o‘qqa l chiziq bilan kesishganga qadar parallel to‘g‘ri chiziqlar o‘tkazamiz. Bu holda AB yoy n ta bo‘lakka bo‘linadi. l chiziqning qo‘shni bo‘linish nuqtalarini kesma (vatar) bilan tutashtiramiz va AN₁N₂…N_n-1B siniq chiziq hosil qilamiz. Shu siniq chiziqning uzunligini l_n bilan belgilaymiz.

Demak,

,

bu yerda yoyga tiralgan vatar uzunligi.

Siniq chiziqning uzunligi AB yoy uzunligining taqribiy qiymati bo‘ladi . Ravshanki, agar [a,b] kesmaning bo‘linish nuqtalari soni n ni (qism kesma uzunliklari eng kattasining uzunligi nolga intiladigan qilsak) ortirsak, u holda siniq chiziqning uzunligi AB yoy uzunligiga intiladi deb qabul qilish tabbiiydir.

Agar da l_n chekli limitga ega bo‘lsa, u holda bu limit l yoyning uzunligi deyiladi, egri chiziq bu holda to‘g‘rilanuvchi deb ataladi:

(1)

Agar chekli limit mavjud bo‘lmasa, yoy uzunligi mavjud emas, chiziq esa to‘g‘rilanmaydigan deyiladi.

Endi, agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz hosilaga ega bo‘lsa, u holda l – to‘g‘rilanuvchi ekanligini ko‘rsatamiz va uning uzunligini hisoblash formulasini keltirib chiqaramiz.

vatar uzunligini hisoblaymiz. N_k-1(x_k-1,y_k-1), N_k(x_k,y_k) bo‘lganligi sababli

bo‘ladi.

Lagranj teoremasiga ko‘ra

.

Demak,

.

Olingan natijani (1) ga qo‘yamiz.

(2)

(2) formulaning o‘ng tomonida funksiyaning [a,b] dagi integral yig‘indisi yozilgan. Bu funksiya uzluksiz bo‘lganligi sababli integral yig‘indining limiti mavjud va shu limit funksiyaning [a,b] dagi aniq integraliga teng bo‘ladi.

.

Shunday qilib, agar f(x) funksiya [a,b] kesmada uzluksiz hosilaga ega bo‘lsa, u holda AB yoy to‘g‘irlanuvchi va uning uzunligi s quyidagi formula bilan hisoblanadi:

(3)

Misol. aylana uzunligini hisoblang.

Yechish. Avval aylananing I chorakdagi qismi uzunligini topamiz. Aylananing bu yoyi tenglamasi bo‘ladi.

Bundan . Demak (3) formulaga ko‘ra

.

Shunday qilib, aylana uzunligi ga teng.