1. Kirish I bob. Funksiyaning hosilasini o`rganish va ularning tatbiqlari

II.1. Funksiya hosilasi tushunchasi.
Hosila matematik analiz kursining muhim tushunchalaridan biri hisoblanadi. Matematika, tabiatshunoslik va texnikaning ko`pgina masalalari bu tushunchaga keltiriladi. Bunday masalalardan ba`zi birlarini keltiraylik.
1. E r k i n t u s h a y o t g a n j i s m n i n g t e z l i g i
h a q i d a g i m a s a l a.
Biror moddiy nuqta (jism) vertical yo‘nalishda pastga nishayotgan bo‘lsin. Bu nuqta t= 0 paytda M0 holatda bo‘lib, s s(t) = ----- qonun bo‘yicha harakatlanadi. M nuqta harakatining tezligini topamiz. Vaqtning t va t+ t daqiqalarini qaraymiz. Harakat boshlanib, t vaqt o ‘tgandan keyin nuqta M holatni olib, s{t) masofani bosib o ‘tadi.
t + paytda esa M0 nuqta Mx holatni egallab, s + = s{t + ) yo‘lni bosib o'tadi. Nuqtaning = {t + t) — t vaqt ichida bosib o ‘tgan yo‘lini topish uchun s(t) funksiyaning orttirmasini topish kerak:
s= s(t + t) - s(t) = (t + t)- = t + t = - .
s masofa yetarlicha kichik bo‘lganda M0 nuqtaning harakatini tekis deb hisoblash mumkin. Fizika kursidan m a’lumki, [t; t + t\ oraliqda M nuqtaning o`rtacha tezligi = bo‘ladi. s masofa qancha kichik bo‘lsa, jismning tezligi shuncha aniq bo‘ladi. Agar t 0 bo‘lsa, u holda(t + t) bo‘ladi. t 0 da nisbatning limiti mavjud bo‘lsa, bu limit M nuqtaning t paytdagi oniy tezligi deyiladi. Shunday qilib, erkin tushayotgan M0 nuqta harakatining tezligi t paytda v= ga teng bo‘ladi.
Hosila tushunchasi birinchi qarashda o`zaro bog`liq bo`lmagan ikki masala tufayli vujudga kelgan. Bu masalalarning birinchisi harakatlanayotgan jismning tezligini aniqlash bo`lsa, ikkinchisi esa, biror chiziqqa o`tkazilgan urinmani topishdan iborat. Aslida bu ikki masala o`zaro uzviy bog`liqdir , chunki nuqtaning tezligi bu nuqta harakati trayektoriyasiga urinma bo`lgan vektordir.
Tezlik. Nuqtaning to`g`ri chiziq bo`ylab harakatini qaraylik. Bu to`g`ri chiziqni biz
Koordinatalar o`qi ya`ni haqiqiy sonlar to`plami deb qaraymiz. Faraz qilaylik, t vaqt
momentida nuqtaning koordinatasida x (t) bo`lsin. Shu tariqa harakatning tezligini topamiz. Biror vaqt oralig`idan keyin nuqta x (t+ ) koordinataga ega bo`ladi. Demak, nuqta t dan t+ gacha o`tgan vaqt ichida x(t+ )- x (t) yo`lni

O`rtacha tezlik bilan bosib o`tadi.
Biz nuqtaning t momentidagi tezligini taxminan yuqoridagi hisoblangan o`rtacha tezlikka teng deb hisoblasak bo`ladi. Darhaqiqat, fizik mutaxassis ,, taxminan’’ degan so`zni tashlab yuborib ifodani nuqtani izlanayotgan tezligi deb hisoblagan bo`lar edi. Biroq,
Nuqtaning istalgan vaqt momentidagi tezligi keyin nima bo`lishiga bog`liq emasligi tabiiy bo`lsada, ammo ravshanki o`rtacha tezlik vaqt oraliq qiymatga bog`liqdir. (Shuni qayd etish joizki, XX asrdagi fan taraqqiyoti fizik mutaxassisining o`z nuqtai nazarida himoya qilishiga asos borligini ko`rsatdi. )
Endi vaqt oralig`ini kichiklashtira boshlab, kasr o`zgarishini kuzataylik bunda, albatta maxraj nolga intiladi, lekin shu bilan birga, x(t) ni t ning uzluksiz funksiyasi deb qarasak, kasr surati ham nolga intiladi. Bunda qaralayotgan kasr biror v soniga yaqinlashishi ham mumkin. Aynan shu son nuqtaning t vaqtidagi tezligidir, ya`ni :
V=
Shu paytgacha tezlik tushunchasi to`g`risida gapirganda uning ma`nosini aniqlashtirmagan edik. Endi esa biz munosabatni to`g`ri chiziq bo`ylab harakat qilayotgan nuqta tezligining ta`rifi deb qarasak bo`ladi.
Urinma. Eslatib o`tamiz , biror (a,b) intervalda aniqlangan F funksiyaning grafigi deb katta koordinatalar tekisligidagi koordinatalari (x,f(x)) bo`lgan nuqtalar to`plamiga aytilar edi. Aniqrog`i F funksiyaning G(f) grafigi quyidagi
G(f) =
to`plamdan iborat.
Faraz qilaylik, (c, f(c)) va (c + h, f (c + h)) nuqtalar funksiya grafigining ikkita har xil nuqtalari bo`lsin. Shu ikki nuqtalardan o`tuvchi to`g`ri chiziq tenglamasini yozamiz :

Agar biz , H ning qiymatini kamaytira borsak, f funksiya grafigining, absissalari s va s+ h bo`lgan ikki nuqtasi oralig`I orqali o`tadigan to`g`ri chiziq G (f) grafikning (s, f(s)) nuqtasidan o`tkazilgan urinmaga yaqinlashib boradi. Urinma tenglamasi, tenglikka ko`ra,
Y = k (x-c) + f (c)
ko`rinishiga keladi, bunda
k =
Yuqorida, urinma tushunchasi to'g'risida gapirganda, biz uning ma'nosini aniqlashtirmagan
edik. Endi esa biz Γ(f ) grafikka abssissasi c ga teng bo'lgan nuqtada o'tkazilgan
urinma bu grafigi (4.1.5)-(4.1.6) ko'rinishga ega bo'lgan to'g'ri chiziqdir deb ta'riflashimiz
mumkin.
Bir o’zgaruvchili funksiya hosilasi
Demak, berilgan y=f(x) funksiyaning argument x bo’yicha hosilasi deb argument orttirmasi ∆x ixtiyoriy ravishdan olg`a intilgan holda funksiya orttirmasi ∆y ning argument orttirmasi ∆x ga nisbatining limitiga aytiladi. Berilgan f(x) funksiyadan hosila toppish amali shu funksiyani differentsiallash deyiladi.
Misol: y=x2 hosilasi topilsin.
Differensiallanuvchi funksiya
Agar y=f(x) funksiya x=x0 nuqtada hosilaga ega bo’lsa, ya’ni mavjud bo’lsa, u holda berilgan x=x0 qiymatda funksiya differensiallanuvchi yoki (baribir) hosilaga ega deyiladi.
Agar y=f(x) funksiya biror x=x0 nuqtada differensilalanuvchi bo’lsa, u holda funksiya shu nuqtada uzluksizdir.
3. Hosila.
Ta'rif. Berilgan f funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'lsin. Bu funksiyaning a
nuqtadagi hosilasi deb quyidagi limitga aytiladi:

Odatda f funksiyaning a nuqtadagi hosilasi (a) simvol orqali belgilanadi.

Yuqoridagi kasr suratini argumentning h orttirmasiga mos keluvchi f funksiyaning
orttirmasi deb atash qabul qilingan. Kasrni o'zini esa ayirmali nisbat deb atashadi.
1.1 - Misol. Ushbu f (x) = x birlik funksiyani qaraylik. Ravshanki,
f (a + h) − f (a) = (a + h) − a = h.
Shuning uchun,

va demak, istalgan a ∈ R nuqta uchun (a) = 1 ekan.
1.2 – Misol. Ushbu f (x) = kvadratik funktsiyani qaraylik. U holda
F (a + h) – f (a) = - = 2 ah +
Shuning uchun,

Ta'rif . Agar funksiya a nuqtada hosilaga ega bo'lsa, bu funksiyani a nuqtada
differensiallanuvchi deyiladi.
1.1 - va 1.2 - Misollarda qaralgan funksiyalar har qanday a ∈ R nuqtada
differensiallanuvchidirlar.
1.3 - Misol. Agar D(x) Dirixle funksiyasi bo'lsa,
f (x) = D(x)
funksiya x = 0 nuqtada differensiallanuvchidir.
Haqiqatan,
F (0 + h ) – f (0) = D(h)
Shuning uchun,
= h D (h)
bu esa (0) = 0 ekanini anglatadi.
Qayd etish kerakki, bu funksiya noldan boshqa hech qanday nuqtada differensiallanuvchi
emas.
Eslatma. Ravshanki, f funksiyaning a nuqtadagi hosilasi ta'rifini quyidagicha ham yozish
mumkin:

Haqiqatan, agar h = x − a deb yozib olsak, (1.7) va (1.8) ta'riflarning o'zaro
teng kuchli ekani ravshan bo'ladi.
2 – misol. Moddiy nuqta s = s (t) ( s – metrlarda, t- sekundalarda o`lchanadi) qonuniga muvofiq to`g`ri chiziq bo`ylab harakat qilmoqda. Shu moddiy nuqtaning vaqtning t momentidagi (paytidagi) tezligi v (t) ni toping.
Ma`lumki, oniy tezlik nuqtaning kichik vaqt oralig`I dagi o`rtacha tezligi
v (t)= ga taqriban teng. nolga intilganda oniy tezlik va o`rtacha tezlik orasidagi farq ham nolga intiladi. Demak, moddiy nuqtaning t momentdagi oniy tezligi
v (t) =
Hosilaning fizik ma`nosi ana shundan iborat. Umuman aytganda, hosila funksiyaning o`zgarish tezligidir.
Misollar
Hosila ta`rifidan foydalanib funksiyalarning hosilasini toping:

1. 
   F (x) = ; 2. F (x) = 5; 3. F (x) = -7x + 5 4. F (x)=
   

1. 
   F (x) = 6. F (x) = 7. F (x) =
   

1. 
   bo`lgani uchun
   

.

2. 
   bo`lgani uchun f (x+h) = 5 , f(x+h) – f (x) = 5- 5 = 0,
   

(x) =

3. 
   bo`lgani uchun
   

f (x +h) = ( x + h
f (x + h) – f (x) =

H da 3xh + bo`lgani uchun

4. 
   Qisqa ko`paytirish formulalariga ko`ra
   

Demak, (x +h h (2x+h )( 2
bo`lgani uchun

Demak,

5. 
   F (x) = bo`lsin,
   

F (x + h) – f (x) =

H bo`ladi.

6. 
   F (x) = , x > 0 , x +h >0 bo`lsin, ayirmali nisbatni tuzamiz va uni soddalashtiramiz:
   

H bo`ladi.

7. 
   Ayirmali nisbatni tuzamiz
   

.

1. 
   - Teorema. Berilgan a nuqtaning biror atrofida aniqlangan f funkysiya shu nuqtada
   

differentsiallanuvchi bo'lishi uchun quyidagi
f (x) = f (a) + A · (x − a) + α(x)(x − a)
tenglikni qanoatlantiruvchi o'zgarmas A sonning va a nuqtada cheksiz kichik bo'lgan
α(x) funksiyaning mavjud bo'lshi zarur va yetarli.
Isbot. Ravshanki, 1.9) shartni quyidagi
f (x) − f (a)

ko'rinishda yozish mumkin, bunda x → a da α(x) → 0.

Bu tenglik, shubhasiz, chap tarafdagi kasrning limiti mavjud bo'lib, u A soniga teng
ekanligiga ekvivalentdir, ya'ni, hosilaning (1.8) ta'rifiga ko'ra,
tenglikka ekvivalentdir.
Q.E.D.
1 - Natija. Agar a nuqtaning biror atrofida aniqlangan F funksiya shu nuqtada
differensiallanuvchi bo'lsa, a nuqtada cheksiz kichik bo'lgan shunday α(x) funksiya
topiladiki, u uchun
f (x) = f (a) +
tenglik bajariladi.

2. 
   - Natija. Agar funksiya biror nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, u shu nuqtada uzluksiz bo'ladi.
   

Haqiqatan, bevosita (1.10) tenglikdan x → a bo'lganda f (x) → f (a) ekani kelib chiqadi. Bu esa f funksiyaning a nuqtada uzluksiz ekanini anglatadi.

Agar f funksiya biror (a, b) intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsa, istalgan

x ∈ (a, b) nuqtada son aniqlangan bo'ladi. Boshqacha aytganda, (a, b) intervalda x → funksiya mavjud bo'lar ekan. Mana shu funksiya F funksiyaning hosilaviy funksiyasi, yoki sodda qilib hosilasi deb ataladi.
Berilgan F funksiyaning hosilasini simvol orqali belgilashni frantsuz matematigi J.L.Lagranj kiritgan. Funksiya hosilasi uchun ko'p ishlatiladigan yana bir belgilashni nemis matematigi G.V.Leybnits kiritgan bo'lib, u quyidagidan iborat:
yoki oddiyroq
Masalan,

Eng sodda elementar funksiyalarning hosilalari
1. Logarifmik funksiyaning hosilasi. Quyidagi f (x) = ln x, x > 0, (2.1) logarifmik funksiyani qaraymiz, bunda ln x simvoli orqali (3.6.30) tenglik bilan aniqlangan e soni asos qilib olingan logarifm belgilangan, ya'ni ln x =

Biz bu funksyani har qanday x > 0 nuqtada differensiallanuvchi ekanini isbotlaymiz.

Ayirmali nisbat tuzib, uni, logarifm xossalaridan foydalanib, qulay ko'rinishga
keltiramiz:

Agar t = h/x desak, ayirmali nisbatni

kabi yozib olish mumkin.

Ixtiyoriy tayinlangan x > 0 uchun h → 0 shartdan t → 0 kelib chiqadi. Agar
quyidagi:
=e

ikkinchi ajoyib limitdan foydalansak, logarifmik funksiyaning uzluksizligiga ko'ra,

tenglikka ega bo'lamiz.

Shuning uchun, (2.2) tenglikda h → 0 deb limitga o'tsak, logarifmik funksiya
hosilasi uchun
(In x x > 0 ,
tenglikni olamiz.
Endi ixtiyoriy a > 0, a 1 asosli
f (x) = , x > 0,
logarifmik funksiyaning hosilasini hisoblaylik. Agar b asosli logarifmdan a asosli
logarifmga o'tish formulasi

dan foydalanib, b = e desak,
=

tenglik hosil bo'ladi. Bu tenglikni (2.3) formuladan foydalanib differensiallasak,

navbatdagi tasdiqni olamiz.
2.1 - Tasdiq. (2.4) logarifmik funksiya har qanday x > 0 nuqtada differensiallanuvchi
bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega :
= x > 0. (2.5)
2. Ko'rsatkichli funksiya hosilasi. Agar a > 0 va a 1 bo'lsa,
f (x) = , −∞ < x < ∞, (2.6)
ko'rinishdagi ko'rsatkichli funksiyani o'rganaymiz. Ma'lumki, bu funksiya butun
sonlar o'qi R da aniqlangan. Ko'rsatkichli funksiyani har qanday x ∈ R nuqtada
differensialllanuvchi ekanini ko'rsatamiz.
Buning uchun (2.6) ko'rsatkichli funksiya (2.4) logarifmik funksiyaga teskari ekanini qayd etamiz. Shunday ekan, biz teskari funksiya hosilasi haqidagi 1.6 -Teoremadan foydalansak bo'ladi. Chunonchi, agar
f (x) = x > 0,
bo'lsa,
−∞ < x < ∞,
bo'ladi.
Ravshanki, 4.1.6 - Teoremaning barcha shartlari o'rinli, shuning uchun, (4.2.5)
ga ko'ra, agar x va y sonlar x = munosabat bilan bog'langan bo'lsa,
[ ] ` =

tenglikka ega bo'lamiz.

Odatdagi belgilashlarga o'tsak, navbatdagi tasdiqni olamiz.
4.2.2 - Tasdiq. (4.2.6) ko'rsatkichli funksiya har qanday x ∈ R nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega :
( = −∞ < x < ∞. (2.7)
Eslatma. Agar a = e bo'lsa, (2.7) formula ayniqsa sodda ko'rinishga keladi:
, −∞ < x < ∞. (2.8)
3. Darajali funktsiya hosilasi. Ixtiyoriy α ∈ R sonni tayinlab,
f (x) = , x > 0, (2.9)
darajali funksiyani qaraymiz. Ko'rsatkich ixtiyoriy haqiqiy son bo'lgani uchun, biz bu funktsiyani musbat yarim to'g'ri chiziqda aniqlangan deb hisoblaymiz (haqiqatan, masalan α = −0.5 bo'lsa, x ≤ 0 lar uchun darajali funksiyani aniqlash qiyin). Logarifmik funksiya xossalaridan foydalanib, (2.9) funksiyani ko'rsatkichli va logarifmik funksiyalarning superpozitsiyasi sifatida yozib olamiz:
f (x) =

Shunday ekan, 1.5 - Teoremani qo'llasak,

=
tenglik hosil bo'ladi.
Natijada navbatdagi tasdiqqa kelamiz.
2.3 - Tasdiq. (4.2.9) drajali funksiya har qanday x > 0 nuqtada differensiallanuvchi
bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega :
(2.10)
Eslatma. Agar α ko'rsatkich ixtiyoriy butun son bo'lsa, (2.10) formula barcha x 0 lar uchun o'rinli bo'ladi va α ixtiyoriy natural son bo'lganda esa, (4.2.10) tenglik barcha
x ∈ R lar uchun bajariladi.
4. Trigonometrik funksiyalar hosilalari. 1) Biz
y = sin x, x ∈ R, (2.11)
funksiyadan boshlaymiz.
Argument orttirmasini h deb, funksiya orttirmasini hisoblaymiz:
sin(x + h) − sin x = 2 sin

U holda ayirmali nisbatni quyidagicha yozish mumkin:

(2.12)
Birinchi ajoyib limitga ko'ra, agar h → 0 bo'lsa,
→ 1
bo'ladi.
Shunday ekan, (1.12) tenglikda h → 0 deb limitga o'tsak, kosinusning uzluksizligiga
asosan, quyidagi tasdiqni olamiz.
(2.11) sinus funksiyasi har qanday x ∈ R nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega :
( sin x . (2.13)
2) Endi
y = cos x, x ∈ R, (2.14)
funksiyani qaraymiz.
Keltirish formulalariga ko'ra,
cos x = sin ( ) (2.15)
(2.13) tenglikdan va murakkab funksiya hosilasi haqidagi 1.5 - Teoremadan
foydalanib, (2.15) tenglikning chap tarafini differensiallaymiz:
(cos x cos ( ) (-1 ) = - sin x

Shunday qilib,

(cos x x ∈ R. (2.16)
3) Ushbu
y = tg x , x k ∈ Z, (2.17)
tangens funksiyasining hosilasini hisoblaymiz.
Buning uchun nisbat hosilasi uchun isbotlangan (1.14) formulada f (x) = sin x
va g(x) = cos x deb,
(tg x

tenglikni olamiz.

Demak,
(tg x , k ∈ Z. (2.18)
4) Navbatdagi formula ham xuddi (2.18) tenglik singari isbotlanadi.
(ctg x = k ∈ Z. (2.19)
5. Teskari trigonometrik funksiyalar hosilalari.
1) Quyidagi
y = arcsin x, −1 ≤ x ≤ 1, (2.20)
funksiyani qaraymiz.
Bu funksiya − kesmada aniqlangan x = sin y funksiyaga teskari
funksiyadir. Shuning uchun, teskari funksiyani differensiallash haqidagi 1.6 - Teoremani
va sinus hosilasi uchun (2.13) formulani qo'llasak,
(arcsin x (2.21)
tenglikni olamiz.
Endi
cos y = =

munosabatni e'tiborga olsak, (2.21) tenglikdan navbatdagi tasdiq kelib chiqadi.

2.4 - Tasdiq. (2.20) teskari funksiya har qanday x ∈ (−1, 1) nuqtada differensiallanuvchi
bo'lib, uning hosilasi quyidagi ko'rinishga ega :
(arcsinx
2) Quyidagi
Arccosx =
Tenglikdan
(arccosx =
Formulani olamiz.

3. 
   ) Endi
   

y = arctg x ,
funksiyani qaraymiz.
Bu funksiya kesmada aniqlangan x = tg y funksiyaga teskari funksiyadir. Shuning uchun, teskari funksiya hosilasi haqidagi 1.6. – teoremani va tangens hosilasi uchun (2.18.) formulani qo`llasak,

(arctgx =

Tenglikni olamiz.
Demak, tg y = x bo`lgani uchun,
(arctgx =
Formulani hosil qilamiz.