1. Kirish I bob. Funksiyaning hosilasini o`rganish va ularning tatbiqlari

Eng sodda elementar funksiyalar hosilalari jadvali.
Agar eng sodda elementar funksiyalar hosilasini bilsak, yig'indi, ayirma, ko'paytma va nisbatlarni differensialllash haqidagi teoremalarni va murakkab funksiyani
Differensiallash qoidasini qo'llab, istalgan elementar funksiyani differensialllashimiz mumkin. Shunday ekan, quyidagi eng sodda elementar funksiyalar hosilalari jadvalini bilish yetarli ekan.

1. 
   )
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   ( sin x ( )
   
5. 
   ( cos x = - sin x ( )
   
6. 
   ( tg x =
   
7. 
   ( ctg x
   
8. 
   ( arcsin x
   
9. 
   ( arccos x =
   
10. 
    ( arctg x = ( )
    

Eslatma. Istalgan elementar funksiya hosilasi yana elementar funksiya bo'ladi.
Elementar funksiyalarni differensiallash bo'yicha ikki muhim misolni keltiramiz. Bu misollarda a va b ixtiyoriy haqiqiy sonlardir.
2.1 - Misol. Quyidagi
f (x) = ln

funksiyaning hosilasini toping.

Yechish. Murakkab funksiyani differensiallash qoidasini qo'llab, hosillalar jadvalidan

Tenglikni olamiz.
Shunday qilib,
( In
2.2 - Misol. Quyidagi
f (x) = arctg

funksiyaning hosilasini hisoblang.

Yechish. Hosilalar jadvalidan

tenglikni olamiz.
Demak,
( arc tg
7. Yuqori tartibli hosilalar.
Agar f funksiya biror intervalda differernsiallanuvchi bo'lsa, bu intervalda )
funksiya aniqlangan bo'ladi. Albatta, bu yangi funksiya ham shu intevalning
biror a nuqtasida differensiallanuvchi bo'lishi mumkin. U holda funksiyaning a
nuqtadagi hosilasi F funksiyaning shu nuqtadagi ikkinchi tartibli (yoki ikkinchi)
hosilasi deb ataladi va (a) kabi belgilanadi. Bunda quyidagi
(a) = (a) =

belgilashlardan ham foydalaniladi.

Xuddi shu singari, ikkinchi hosila ham qaralayotgan intervalning har bir nuqtasida
mavjud bo'lib, u ham differensiallanuvchi funksiya bo'lishi mumkin. U holda f funksiya ikkinchi hosilasining hosilasi f funksiyaning uchinchi tartibli (yoki uchinchi) hosilasi deb ataladi va

kabi belgilanadi.

Umuman, agar f funksiya biror intervalda n − 1 tartibli hosilaga ega bo'lib, o'z navbatida bu funksiya ham differensiallanuvchi funksiya bo'lsa, uning hosilasi f funksiyaning n - tartibli hosilsi deb ataladi va

kabi belgilanadi.
Bunda f funksiya berilgan intervalda n marta differensialllanuvchi deb ataladi.
Shunday qilib, n-hosila induktiv ravishda aniqlanar ekan:

Qulaylik uchun, ba'zan 0 - tartibli hosila deb funksiyaning o'zi tushiniladi, ya'ni

Ba'zi funksiyalarning n-tartibli hosilasini hisoblashga misollar keltiramiz.

2.3 - Misol. Quyidagi
f (x) = sin x, −∞ < x < ∞,
funksiyani qaraymiz.
Uning hosilasi

ko'rinishga ega.

Demak, sinus funksiyasini differensiallash argumentni π/2 qiymatga surishdan iborat ekan. Bundan, induksiyaga ko'ra,
(sin x −∞ < x < ∞,
formulani olamiz.
2.4 - Misol. Quyidagi formula xuddi yuqoridagidek isbotlanadi:
(cos x , n ∈ N, −∞ < x < ∞.
4.2.5 - Misol. Endi
f (x) = ln x, x > 0,
logarifmik funksiyani qaraymiz.
Uning hosilalari quyidagicha aniqlanadi
( In x =

Bu tengliklardan n - hosila uchun quyidagi hulosaga kelish mumkin:

(ln x

Bu formula bevosita induksiya usuli yordamida isbotlanadi.

2.6 - Misol. Agar a > 0, a 1 bo'lsa,
f (x) = −∞ < x < ∞.

funksiyani qaraymiz.

Bu funksiya hosilasi
(
ga teng.
Demak, bu funksiyani differensiallash uchun uni asosning natural logarifmiga ko'paytirish kerak ekan. Bundan chiqdi, ko'rsatkichli funksiyaning n-hosilasi quyidagi
(
ko'rinishga ega bo'lishini ko'rish qiyin emas.
7. Leybnits formulasi. Agar u va v funksiyalar biror intervalda n marta
differensiallanuvchi bo'lsa, ularning ko'paytmasi uv ham n marta differensiallanuvchi
bo'lib, quyidagi
(uv
Leybnits formulasi o'rinli bo'ladi.
Bu formulani matematik induksiya usuli orqali isbotlaymiz. Avval shuni qayd qilamizki, n = 1 bo'lsa, ushbu formula ko'paytmaning hosilasi uchun ma'lum bo'lgan (1.12) formula bilan ustma-ust tushadi.
Endi faraz qilaylik, (4.2.33) formula biror n uchun o'rinli bo'lsin. Yuqori tartibli
hosilaning induktiv aniqlanishiga asosan, (n + 1) - tartibli hosila uchun
(uv

Tenglikni olamiz.

Demak,
(uv
Birinchi yig`indida oxirgi xadni va ikkinchi yig`indida birinchi hadni ajratsak,
(uv +
Tenglik hosil bo`ladi.
Kvadratik qavsni quyidagi

Ko`rinishda yozsak, formulani (n+1) hosila uchun olamiz:
(uv = u
Endi talab qilinayotgan tasdiq matematik induktsiya usulidan kelib chiqadi.