1. Kirish I bob. Funksiyaning hosilasini o`rganish va ularning tatbiqlari

3.1. Differensiallash qoidalari.
Hosilani hisoblash jarayoni defferensiallash deb ataladi. Navbatdagi tasdiq differensiallashning chiziqli amal ekanini anglatadi.
1.2 - Teorema. Agar f va g funksiyalar a nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, istalgan
λ ∈ R va µ ∈ R o'zgarmaslar uchun λf (x) + µg(x) f unksiya ham shu nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, quyidagi tenglik bajariladi
( λf + µg λ + µ
Isbot. Agar
F (x) = λf (x) + µg(x)
deb belgilasak,
λ +
tenglik o'rinli bo'ladi.
Bu tenglikda x → a deb limitga o'tsak, talab qilingan tenglikni olamiz:

Q.E.D.
Ko'paytmani differensiallash qoidasi murakkabroq ko'rinishga ega.
Teorema. Agar f va g funksiyalar a nuqtada differensiallanuvchi bo'lsa, ularning ko'paytmasi f (x)·g(x) ham shu nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, quyidagi tenglik bajariladi
(f
Isbot . Agar
F (x) = f (x)
Desak,
F (x) – F (a) = [ f (x) – f (a) ] g (x) – g (a)
Tenglikni olamiz va shuning uchun,

Teoremaning 2 - Natijasiga ko'ra, g(x) funksiya, har qanday differensiallanuvchi funksiya singari, a nuqtada uzluksizdir, ya'ni x → a da g(x) → g(a). Shunday ekan, x → a da limitga o'tib, oxirgi tenglikdan talab qilinayotgan munosabatni hosil qilamiz:

Q.E.D.
Nisbatning hosilasi yanada murakkabroq ko'rinishga ega.
1.1 - Lemma. Agar g funksiya a nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, g(a) 0 bo'lsa,
funksiya a nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'lib, shu nuqtada differensiallanuvchi bo'ladi va quyidagi tenglik bajariladi:

Isbot. 1.1 - Teoremaning 2 - Natijasiga asosan g(x) funksiya a nuqtada uzluksiz va shuning uchun u, 3.5.1 - Tasdiqqa ko'ra, a nuqtaning biror atrofida noldan farqlidir. Demak, shu atrofda nisbat aniqlangan ekan.
Agar
F (x) =
desak,
F (x) − F (a) = -
tenglikni olamiz. Demak,

Bu tenglikda x → a deb limitga o'tsak, talab qilingan tenglikni olamiz:

Teorema. Agar f va g funksiyalar a nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, g(a) 0 bo'lsa, nisbat ham shu nuqtada differensiallanuvchi bo'ladi va quyidagi tenglik bajariladi:
(
Isbot. Biz bu kasrni quyidagi ko'rinishdagi ko'paytma deb qarashimiz mumkin:

Shunday ekan, ko'paytmani differensiallash haqidagi 1.3 - Teoremani va 1.1 -Lemmani qo'llab, talab qilingan tenglikni olamiz:
(
Birinchi differensial. Faraz qilaylik, f funksiya a nuqtada differensiallanuvchi bo'lsin. Argumentning h ga teng orttirmasiga mos kelgan f funksiyani orttirmasini quyidagi ko'rinishda belgilaymiz:
∆f (a, h) = f (a + h) − f (a)
Bu orttirmani, (1.10) formulaga ko'ra,
∆f (a, h) = (a)h + α (a, h) h
kabi yozish mumkin. Bu yerda h → 0 bo'lsa, α(a, h) → 0 bo'ladi.
Funksiya orttirmasining h ga nisbatan chiziqli bo'lgan (a)h hadi f funksiyaning
a nuqtadagi differentsiali deyiladi va u df (a, h) orqali belgilanadi. Shunday qilib,
df (a, h) = (a)h.
Agar f funksiya biror intervalning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsa, uning differensiali ikki x va h o'zgaruvchilar funksiyasi bo'lib, u h bo'yicha chiziqlidir:
df (x, h) = (x)h,
An'ana bo'yicha h o'zgaruvchini dx deb belgilashadi va bu holda differensial quyidagi
ko'rinishga keladi:
d f (x, dx ) =
yoki yanada qisqa qilib,
df = (x)dx
kabi yoziladi.
Masalan,
d(sin x) = cos x dx.
Yana bir misol:
d(ln tg x) =
2. Birinchi differensial ko'rinishining invariantligi. Agar x argumentning o'zi yangi t o'zgaruvchining funktsiyasi bo'lsa, f (x) funksiyaning differensialini topamiz. Chunonchi,
F (t) = f (x) = f [x(t)]
murakkab funksiyani t argumentning dt orttirmasiga mos kelgan orttirmasini izlaymiz.
Agar f va x funksiyalar differensiallanuvchi bo'lsa, u holda F murakkab funksiya ham differensiallanuvchi bo'ladi va
dF = dF (t, dt) = (t)dt = [x(t)] (t)dt
tenglik bajariladi.
Endi, dx = (t)dt bo'lgani uchun, (4.6.6) tenglikni quyidagi ko'rinishda yozib olamiz:
dF = (x)dx.
Ikki (4.6.5) va (4.6.7) tengliklardan
df = (x)dx
munosabat kelib chiqadi.
Shunday qilib, x argumentining o'zi ham biror yangi o'zgaruvchini funksiyasi bo'lsa, f (x) funksiyaning (4.6.8) birinchi differensiali xuddi (4.6.4) kabi ko'rinishga ega bo'lar ekan. Bu yerdagi yagona farq shundaki, (4.6.8) tenglikda dx – funksiyaning differentsialidir va bu tenglikni aslida quyidagi ma'noda tushunish zarur:
df (t, dt) = (x(t)) dx(t, dt).
Yuqoridagi (4.6.8) tenglik birinchi differensial ko'rinishining invariantligi deb
nomlanadi.
3. Ikkinchi differensial. Faraz qilaylik, f funksiya biror intervalda ikki marta differensiallanuvchi bo'lsin. Bu funksiya differensiali quyidagi
df (x, dx) = (x) dx
ko'rinishga ega bo'lib, u dx orttirmaning har bir tayinlangan qiymatida x o'zgaruvchining
differensiallanuvchi funksiyasi bo'ladi. Bu o'zgaruvchiga h orttirma bersak,
df (x + h, dx) − df (x, dx) = [ (x + h) − (x)] dx = [ (x) + α(x, h)] h dx
munosabatni olamiz, bunda h → 0 da α(x, h) → 0.
Birinchi differensialning differensiali birinchi differensial orttirmasining h ga nisbatan
chiziqli qismi bo'lib, u quyidagi ko'rinishga egadir:
(x) h dx.
Bu ifodaning h = dx dagi qiymati f funksiyaning ikkinchi differensiali deb ataladi va
f = kabi belgilanadi. Shunday qilib,

ya'ni ikkinchi differensial dx orttirmaning kvadratik funksiyasi ekan.
Masalan,
(sin x) = − sin x (dx
Endi x argument yangi t o'zgaruvchining funksiyasi bo'lgan holda f (x) funksiyaning ikkinchi differensialini topamiz. Chunonchi, quyidagi murakkab funksiyani qaraymiz
F (t) = f (x) = f [x(t)]
va uni t argumentning dt orttirmasiga mos kelgan ikkinchi differensialini hisoblaymiz.
Agar f va x funksiyalar ikki marta differensiallanuvchi bo'lsa, u holda F murakkab
funksiya ham ikki marta differensiallanuvchi bo'lib,
(t) = [ x(t) ][ (t) + [x(t)] (t)
tenglik bajariladi.
Demak,

Agar, (4.6.9) ta'rifga ko'ra, ekanini hisobga olsak, u holda (4.6.10) va (4.6.11) da

munosabatni olamiz.
Endi (4.6.9) va (4.6.12) ni taqqoslasak, shuni ko'rish mumkinki, x o'zgaruvchi boshqa t o'zgaruvchining funksiyasi bo'lgan vaqtda, ikkinchi differensialga qo'shimcha
had qo'shilar ekan, bunda o'zgaruvchining ikkinchi differensialidir. Shunday qilib, ikkinchi differensial ko'rinishi invariantlik xossasiga ega emas ekan.

5. 
   Ixtiyoriy tartibli differensiallar. Berilgan f funksiyaning n-tartibli differensiali (n − 1)-tartibli differensialning differensizli sifatida induktiv ravishda aniqlanib,
   

ko'rinishga ega bo'ladi.
Haqiqatan, faraz qilaylik, f funksiya biror intervalda n marta differntsiallanuvchi bo'lib, uning (n − 1)-differentsiali aniqlangan va bu differensial uchun

tenglik o'rinli bo'lsin.
Bundan chiqdi, f funksiuaning aniqlanishiga ko'ra, (n − 1)-tartibli differentsial x o'zgaruvchining differentsiallanuvchi funktsiyasi bo'lar ekan. Demak,

Ravshanki, bu orttirmaning h bo'yicha chiziqli qismi

ga teng. Ushbu (4.6.15) ifodaning h = dx dagi qiymati f funktsiyaning n-differentsiali deyiladi. Shunday ekan, bu ta'rif va (4.6.14) tenglikdan (4.6.13) formula bevosita kelib chiqadi.
Agar x o'zgaruvchi yangi t o'zgaruvchining funksiyasi bo'lib, n ≥ 2 bo'lsa, f
funksiyaning n-differentsiali uchun formula murakkabroq ko'rinishga ega ekanini ko'rsatish qiyin emas. Boshqacha aytganda, n-differensial ham, ikkinchi differensial kabi, invariantlik xossasiga ega bo'lmaydi.
Eslatma. Teylor formulasi differensiallarda quyidagicha yoziladi:
f (x + dx) − f (x) =
bu yerda
=

Ÿ Kompleks qiymatli funksiyalarni differensiallash

Ta'rif. Kompleks qiymatli va x haqiqiy o'zgaruvchili f (x) funksiyaning x = a
nuqtadagi hosilasi deb quyidagi limitga aytiladi :

4.7.1 - Tasdiq. Kompleks qiymatli va x haqiqiy o'zgaruvchili f (x) = u(x) + iv(x)

funksiyasi differensiallanuvchi bo'lishi uchun uning haqiqiy u(x) va mavhum v(x) qismlarining differensiallanuvchi bo'lishi zarur va yetarli.
Isbot. bevosita hosila ta'rifidan kelib chiqadi. Ravshanki, kompleks qiymatli funksiya hosilasi

ga teng.
Masalan, agar
E (x) = cos x + i sin x
bo'lsa,
(x) = − sin x + i cos x
bo'ladi.
Kompleks qiymatli funksiyalarni differentsiallash amali xuddi haqiiqy funksiyalar
holidagidek xossalarga ega.
Misol tariqasida ikki kompleks qiymatli funksiyalar ko'paytmasining hosilasi
uchun
( fg
Formulani isbotlaymiz.
Faraz qilaylik, f = u + iv va g = p + iq funksiyalar differensiallanuvchi bo'lsin.
U holda, 4.7.1 - Tasdiqqa ko'ra,
fg = (up − vq) + i(uq + vp)
formulada u, v, p va q lar differensiallanuvchi haqiqiy funksiyalar bo'ladi.
Demak, yana 4.7.1 - Tasdiqqa ko'ra, ko'paytma ham differensiallanuvchi ekan.
Endi (4.7.2) formulani va haqiqiy funksiyalar ko'paytmalarini differensiallash qoidasini
qo'llasak,
( fg
tenglikni olamiz.
Bundan talab qilinayotgan (4.7.3) formula bevosita kelib chiqadi:
( fg
Yana bir misol tariqasida kompleks qiymatli f funksiya a nuqtada differensiallanuvchi
bo'lib, f (a) 0 bo'lganda, funksiyaning shu nuqtadagi hosilasini topamiz.
Shunday qilib, f = u + iv funksiya a nuqtada differensiallnuvchi bo'lsin. U holda, 4.7.1 - Tasdiqqa asosan, har ikki u va v funksiyalar ham shu nuqtada diffrensiallanuvchi bo'ladi. Yana 4.7.1 - Tasdiqni qo'llab, o'z-o'zidan ko'rinib turgan

tenglikka ko'ra, funktsiya ham a nuqtada differensiallanuvchi ekaniga iqror bo'lamiz.
Shunday ekan, g = deb belgilab, (4.7.3) formulaga asosan,
( fg
ni olamiz.
Modomiki (fg ≡ 0 ekan, oxirgi tenglikdan

hosil bo'ladi.
Shunday qilib,
(
Haqiqiy va mavhum qismlari elementar funksiyalar bo'lgan kompleks qiymatli
funksiyalarning hosilalari, (4.7.2) formulani qo'llab, oson topiladi.
7.1 - Misol. Aytaylik, c = a + ib bo'lib, bunda a va b haqiqiy sonlar b 0 shartni qanoatlantirsin. Ushbu
Φ(x, c) = ln
funksiya hosilasi topilsin.
Yechish. Hosilani hisoblash uchun biz (4.2.27) va (4.2.28) tengliklar hamda
(4.7.2) fomuladan foydalanamiz. Natijada

munosabatni olamiz, bu yerda c = a - ib, ya'ni c ga qo'shma sondir .
Shunday qilib,

Yuqori tartibli hosilalar ham shunga o'xshash hisoblanadi.
4.7.2 - Misol. Yana c = a + ib deymiz, bunda a va b lar haqiqiy sonlar bo'lib,
b 0. Yuqoridagi (4.7.5) funksiyaning n - tartibli hosilasi topilsin.
Yechish. Agar (4.7.6) tenglikni ketma-ket differensiallasak,

tenglikni olamiz.
(4.7.7) tenglikni quyidagi ko'rinishda yozish mumkin:

Demak, (4.7.8) tenglikning o'ng tarafidagi funksiya oshkor ko'rinishda yoziladigan biror elementar funksiyaning hosilasi ekan.

Eslatma. Agar c = a + ib bo'lsa,
= |x − c|
bo'ladi va shuning uchun, (4.7.5) funksiyani
Φ(x, c) = ln |x − c| + i arctg Im c = b 0,
ko'rinishda yozish mumkin.
Agarda b = Im c = 0 bo'lsa, Φ(x, c) funksiyani quyidagicha aniqlasak bo'ladi:
Φ(x, c) = ln |x − c|, Im c = 0.
Bunda, albatta, hosila uchun (4.7.6) va (4.7.8) tengliklar o'rinli bo'lib qolaveradi.
Shunday qilib, ixtiyoriy kompleks c soni va ixtiyoriy natural n uchun

tenglik bajarilar ekan, bunda Φ(x, c) funktsiya b 0 da (4.7.9) tenglik va, b = 0 bo'lganda esa, (4.7.10) tenglik orqali aniqlangandir.