1. Kirish I bob. Funksiyaning hosilasini o`rganish va ularning tatbiqlari

3.2. Murakkab funksiyani differensiallash.
Avvalgi bobning 3.5 - bandida kiritilgan murakkab funksiyalarni o'rganamiz. Chunonchi, y = f (x) funksiya biror E ⊂ R intervalda aniqlangan bo'lsin. Bundan tashqari, x = ϕ(t) funksiya M ⊂ R intervalda aniqlangan bo'lib, uning qiymatlar to'plami E da yotsin. Ushbu bandda biz M to'plamda aniqlangan va har bir t ∈ M songa f [ϕ(t)] qiymatni mos qo'yuvchi f i8i(ϕ) funksiyani o'rganamiz.
4.5 - Teorema. Agar ϕ funksiya a ∈ M nuqtada differensiallanuvchi bo'lib, f funksiya bu nuqtaga mos b = ϕ(a) ∈ E da differensiallanuvchi bo'lsa, u holda
F (t) = f '[ϕ(t)]
murakkab funksiya a nuqtada differensiallanuvchi bo'ladi va

tenglik bajariladi.
Isbot. Ma'lumki, f funksiya b nuqtada differensialllanuvchi bo'lsa, (4.1.10) ga ko'ra, b nuqtada cheksiz kichik bo'lgan shunday α(x) funksiya topiladiki, u uchun
f (x) − f (b) = [ (b) + α(x)] · (x − b)
tenglik bajariladi.
Agar x = ϕ(t) deb, b = ϕ(a) ekanini hisobga olsak, (4.1.16) dan

tenglikni olamiz.
Bu tenglikda t → a deb limitga o'tsak, talab qilingan (4.1.15) tenglik hosil
bo'ladi.
Eslatma . Agar f va ϕ funksiyalar o'zlari aniqlangan intervallarning har bir nuqtasida differensiallanuvchi bo'lsa, u holda murakkab funksiyani differensiallash formulasi ϕ funksiyaning aniqlanish sohasidagi barcha t larda o'rinli bo'lib, u quyidagi ko'rinishda yoziladi:

Bu (4.1.17) formulani ba'zan ¾zanjirli qoida¿ deb atashadi. Agar t o'zgaruvchi ham o'z navbatida qandaydir s o'zgaruvchining funksiyasi bo'lsa, ya'ni t = τ (s) bo'lsa, bu terminni ishlatish sababi yanada oydinlashadi. Haqiqatan, bu holda quyidagi
Φ(s) = f {ϕ[τ (s)]}
murakkab funksiyaning (bu funksiya ba'zan Φ = f ◦ϕ◦τ ko'rinishda ham belgilanadi)
hosilasi
(s) = (t)
ga teng bo'ladi, bunda x = ϕ(t) va t = τ (s).
Teskari funksiyani differensiallash.
Eslatib o'tamizki, biror E to'plamda aniqlangan f funksiyaga teskari funksiya deb, M = f (E) to'plamda aniqlangan va quyidagi ikki:
1) istalgan x ∈ E uchun
[f (x)] = x;
2) istalgan y ∈ f (E) uchun
F [ (y) ] = y
shartlarni qanoatlantiruvchi funksiyaga aytilar edi.
4.1.6 - Teorema. f funksiya a nuqtaning biror atrofida qat'iy monoton va uzluksiz bo'lsin. Bundan tashqari, f funksiya a nuqtada differensiallanuvchi bo'lib,

bo'lsin. U holda teskari funksiya b = f (a) nuqtada differensiallanuvchi bo'lib,
(
tenglik bajariladi.
Isbot. Albatta, teoremaning shartlari bajarilganda teskari funksiya mavjud bo'lib, u b = f (a) nuqtaning biror atrofida aniqlangan bo'ladi hamda tenglik bajariladi. Ana shu atrofdan olingan istalgan y b son uchun x = deymiz.
Bunda, ravshanki, f (x) = y va x a bo'ladi. Shunday ekan,

Agar y → b bo'lsa, teskari funksiyaning uzluksizligiga ko'ra (3.5.8 – Teoremaga qarang), x → a bo'ladi. Demak, (4.1.19) tenglikda y → b deb limitga o'tsak, talab qilingan (4.1.18) tenglikni olamiz.

XULOSA
O`zbekiston Respublikasi Prezidentining ,, Matematika sohasidagi ta`lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish chora – tadbirlari to`g`risida’’ gi qarori qabul qilindi. Mamlakatimizda matematika 2020-yildagi ilm fanni rivojlantirishning ustuvor yo`nalishlardan biri sifatida belgilandi. O`tgan davr ichida ilm fanni va ta`limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi;
Birinchidan, ilg`or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematik olimlarning taklif qilinishi va xalqaro ilmiy tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart sharoit yaratildi;
Ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g`olib bo`lgan yoshlarimiz va ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag`batlantirish tizimi joriy etildi;
Uchinchidan , oliy ta`lim va ilmiy tadqiqotlarning o`zaro integratsiyalashuvini ta`minlash maqsadida talabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematika institutining yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika sohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi, budjet mablag`lari hisobidan superkompyuter, zamonaviy texnika va asbob uskunalar xarid qilindi;

To`rtinchidan, ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajyor tadqiqotlik instituti joriy etildi;

Bechinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muammolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta`lim va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini hukumat darajasida belgilash maqsadida O`zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisligida Fan va texnologiyalar bo`yicha respublika kengashi tashkil etildi;
Ta`limning barcha bosqichlarida matematika fanini o`qitish tizimini yanada takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo`llab – quvvatlash , ilmiy tadqiqot ishlarining ko`lamini kengaytirish va amaliy ahamiyatini oshirish, xalqaro hamjamiyat bilan aloqalarni mustahkamlash, shuningdek, 2017-2021 yillarda O`zbekiston respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo`nalishi bo`yicha Harakatlar strategiyasini ,, ilm, ma`rifat va raqamli iqtisodiyotni rivojlantirish yili’’da amalga oshirish ga oid Davlat dasturida belgilangan vazifalar ijrosini ta`minlash maqsadida .
Biz hosila haqida tushunchaga ega bo’lishdan oldin limit haqida tushunchaga ega bo`lishimiz lozim. Chunki ikkalasi bir-biriga bog`liq. Limitni o`rganmasdan hosilani o`rgana olmaysiz.
Limit haqida tushuncha.
X ning qiymatlari 2 dan kichik bo`lib, 2 ga yaqinlasha borganda f(x) = funksiyaning qiymatlari jadvalini qaraylik :

X	1	1,9	1,99	1,999	1,9999
F (x)	1	3,61	3,9601

Jadvaldan ko`rinib turibdiki, x ning qiymatlari 2 ga qancha yaqin bo`laversa, f (x) funksiyaning mos qiymatlari ham 4 soniga yaqinlashaveradi.

Bunday holatda x argument (o`zgaruvchi) 2 ga chapdan yaqinlashganda f (x) ning qiymatlari 4 soniga yaqinlashadi deymiz.
Endi x ning qiymatlari 2 dan katta bo`lib, 2 ga yaqinlasha borganida f (x) = funksiyaning qiymatlari jadvalini qaraylik:

X	3	2,1	2,01	2,001	2,0001
F(x)	9	4,41	4,0401

Bunday holatda x argument 2 ga o`ngdan yaqinlashganda, f(x) funksiya qiymatlari 4 soniga yaqinlashadi deymiz.

Yuqoridagi ikki holatni umumlashtirib, x argument 2 ga yaqinlashganda, f(x) ning qiymatlari 4 soniga yaqinlashadi deymiz va buni quyidagicha yozamiz:

Bu yozuv shunday o`qiladi: x argument 2 yaqinlashganda, f (x) = funksiyaning limiti 4 ga teng.
X bo`lib, uning qiymatlari a soniga yaqinlashsa, f (x) ning mos qiymatlari A soniga yaqinlashsin. Bu holda A sonni x a ga yaqinlashganda f (x) funksiyaning limiti deyiladi va bunday belgilanadi:

Ayrim hollarda mazkur holatni x ning qiymatlari a ga intilganda f (x) funksiya A ga intiladi, deymiz.
yozuv o`rniga da f (x) yozuv ham qo`llaniladi.
Eslatma, x ning qiymati a ga intilganda x sharti bajarilishining muhimligini aytib o`tish joiz.
Amalda, funksiya limitini toppish uchun lozim bo`lsa, tegishli soddalashtirishni bajarish maqsadga muvofiq.
B nuqta , , … holatlarni ketma-ket qabul qilib , A nuqtaga egri chiziq bo`ylab yaqinlashsa, mos kesuvchilarning egri chiziqqa A nuqtada o`tkazilgan urinma holatini olishga intilishini intuitiv tarzda qabul qilamiz.
Bu holda, ravshanki AB to`g`ri chiziqning burchak koeffitsiyenti urinmaning burchak koeffitsiyentiga yaqinlashadi.
1-misol. F (x) = funksiyaning grafigiga A (1;1) nuqtada urinadigan to`g`ri chiziqning burchak koeffitsiyentini toping.
funksiyaning grafigiga tegishli ixtiyoriy B (x, ) nuqtani qaraylik.
AB to`g`ri chiziqning burchak koeffitsiyenti
ga teng.
B nuqta A nuqtaga egri chiziq bo`ylab yaqinlashganda, x ning qiymati 1 ga yaqinlashadi, bunda x
Demak, AB to`g`ri chiziqning burchak koeffitsiyenti urinmaning burchak koeffitsiyenti k ga yaqinlashadi, ya`ni:

Shunday qilib, k =2.
Y = f (x) funksiya berilgan bo`lsin. Uning grafigiga tegishli bo`lgan A (x; f (x)) va B (x + h; f (x + h)) nuqtani qaraylik.
AB to`g`ri chiziqning burchak koeffitsiyenti

Ayirmali nisbatga teng.
B nuqta A nuqtaga egri chiziqbo`ylab yaqinlashganda h ya`ni h orttirma nolga intiladi, AB kesuvchi esa funksiya grafigiga A nuqtada o`tkazilgan urinmaga intiladi.
Shu bilan birga , AB to`g`ri chiziqning burchak koeffitsiyenti urinmaning burchak koeffitsiyentiga yaqinlashadi.
Boshqacha aytganda h ning qiymati 0 ga intilganda ixtiyoriy ( x, f (x) ) nuqtada o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyenti ayirmali nisbatning qiymatiga, ya`ni teng bo`ladi.
X ning mazkur limit mavjud bo`lgan ixtiyoriy qiymatiga funksiya grafigiga
(x, f(x)) nuqtada o`tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentining yagona qiymatini mos qo`yish mumkin.
Demak, formula yangi funksiyani ifodalaydi.
Mana shu funksiya y= f (x) funksiyaning hosilaviy funksiyasi, yoki soda qilib hosilasi deb ataladi
Ta`rif: y= f (x) funksiyaning hosilasi deb, quyidagi limitga (agar u mavjud bo`lsa) aytiladi: