1-Mavzu: “Statistika” faniga kirish

8.2. Dispersiya va kvadratik o’rtacha tafovut xossalari.
Dispersiya va kvadratik o’rtacha tafovut algebraik amallarni bajarish uchun eng qulay o’zgaruvchanlik me’yoridir. Bu jihatdan u arifmetik o’rtachani eslatadi.
Dispersiya va kvadratik o’rtacha tafovutlarning eng muhim xossalarini ko’rib chiqamiz.
²_x va _x arifmetik o’rtacha nisbatan hisoblanganda bu ko’rsatkichlar o’zgaruvchanlikning eng kichik qiymatli me’yoridir, ya’ni bunda A . Yuqorida isbotlanganiga ko’ra,
.
Bu yerda: d²q(x-A)². Demak, , chunki
qator hadlarini biror A o’zgarmas miqdorga kamaytirsak (yoki ko’paytirsak), ya’ni x-A, bu hol dispersiya va kvadratik o’rtacha tafovutga ta’sir etmaydi, ya’ni yangi Uqx-A qator uchun bunday ko’rsatkich boshlang’ich qator ko’rsatkichlariga teng bo’ladi:

qator hadlarini biror o’zgarmas miqdor k marta qisqartirilsa (yoki ko’paytirilsa), dispersiya k² marta, kvadratik o’rtacha tafovut k marta ozayadi (yoki ortadi).
UqX/K bo’lsa


(6.8)
N - birinchi natural sonlar uchun kvadratik o’rtacha tvafovutni aniqlash ham amaliy ahamiyat kasb etadi. Algebradan⁷ ma’lumki, N - birinchi natural sonlar yig’indisi N(N + 1)/2, ularning kvadratlarining yig’indisi esa N(N+1)(2N+1)/6 ifoda bilan aniqlanadi. Demak, birinchi natural sonlar o’rtachasi: N(N + 1)/2 : N q (N + 1)/2 va (6.4) formulaga binoan ularning o’rtacha kvadrat tafovuti esa quyidagi ifodaga teng:
2 q (N+1)(2N+1)*1/6 - (N+1)2 *1/4 bundan
² q (N² - 1)*1/12. (6.12)
Bu formuladan foydalanish uchun misol qilib belgi darajalarini o’lchamasdan, to’plam birliklarini biror umumiy xususiyati asosida saflab (ranjirlab), so’ngra tartib sonlari bilan belgilab chiqish natijasida barpo bo’ladigan N - rangli qatorlarni olish mumkin.


Dispersiya va kvadratik o’rtacha tafovut hisoblashning soddalashtirilgan usullari
Yuqorida bayon etilgan dispersiya xossalariga tayanib bu ko’rsatkichni, demak, kvadratik o’rtacha tafovutni ham hisoblashni bir muncha soddalashtirish mumkin. SHunday yo’llardan biri shartli moment usuli deb ataladi.
O’rganilayotgan x_i qatorning har bir hadidan A-o’zgarmas miqdorni ayirib, olingan natijalarni boshqa K-o’zgarmas miqdorga bo’lsak, boshlang’ich x_i qator o’rniga yangi u_i qator vujudga keladi, ya’ni U_i q (x_i - A) g’ K . Agarda qator teng oraliqli variantalarga ega bo’lsa, A - konstanta qilib qator o’rtasidagi hadni (variantani), K - konstanta qilib esa oraliq kengligini olish kerak, chunki bu holda hisoblash juda soddalashadi. So’ngra yangi u_i - qatorning varianta qiymatlari va ularning kvadratlaridan arifmetik o’rtachalar hisoblanadi:

natijada
Bu ko’rsatkich boshlang’ich haqiqiy x_i - qator dispersiyasini ham aniqlaydi, chunki (6.6).