1-Mavzu: “Statistika” faniga kirish

8.1 Muqobil (alternativ) belgi dispersiyasi
Alternativ - o’zagi lotincha «alter» - ikkitadan biriga asoslangan - frantsuzcha «alternative» so’z bo’lib, bir-birini o’zaro inkor qiluvchi imkoniyatlardan yoki yo’llardan har biri degan lug’aviy ma’noga ega. Alternativ belgi deb o’rganilayotgan to’plam birliklarining bir qismida uchraydigan, boshqa qismida esa uchramaydigan xossalar ataladi. Masalan, iste’molchilarning bir qismi ayni tovarni iste’mol qilishga moyil, boshqa qismi moyil emas.
Alternativ belgi qiymatlari bunday xossaga ega bo’lgan birliklar uchun «1» (bir) barcha ega bo’lmaganlar uchun esa «0» (nolь) deb ifodalanadi. Umumiy to’plamda alternativ belgi kuzatilgan birliklar salmog’i «R», kuzatilmaganlari esa «q» orqali belgilanadi, ularning yig’indisi birga teng, ya’ni pqqq1 ⁸⁾.

Demak, alternativ belgining o’rtacha qiymati unga ega bo’lgan birliklarning to’plamdagi salmog’iga tengdir. Bu belgi uchun dispersiya demak, (6.16)

Alternativ belgi dispersiyasining maksimal qiymati pqq0,5*0,5q0,25 teng.

Variatsiyani o’rganish uchun quyidagi dispersiya turlari hisoblanadi va tahlil qilinadi.
Salmoqning ichki guruhiy dispersiyasi
(6.17)

Ichki guruhiy dispersiyalardan o’rtacha dispersiya

(6.17a)
Guruhlararo dispersiya
(6.18)
bu yerda: f_i - ayrim guruhlardagi birliklar soni;
- ayrim guruhlarda o’rganilayotgan belgi salmog’i;
- butun to’plam bo’ycha o’rganilayotgan belgi salmog’i
bu yerda
Umumiy dispersiya (6.19).
Yuqorida uchta dispersiyalar o’zaro quyidagicha bog’langan:



Bu holda ayrim tafovutlar ishorasiga e’tibor bermasdan, ularning yig’indisini topamiz. Bunday «absolyut» tafovutlarning arifmetik o’rtachasi abolyut (mutlaq) o’rtacha tafovut (inglizcha mean deviation) deb ataladi. Bu ko’rsatkich quyidagi shakllarga ega bo’ladi:
Saflangan qatorlarda (6.20).
Vaznli qatorlarda (6.20a).
Bu yerda d «d - modul» yoki inglizcha «mod d» deb o’qiladi. qator hadlari uchun ayrim tafovutlar ularning arifmetik o’rtacha darajasiga nisbatan aniqlanganda kvadratik o’rtacha tafovut minimal qiymatga ega bo’lganidek, absolyut o’rtacha tafovut ham minimal qiymatga ega bo’ladi, agarda ayrim tafovutlar medianaga nisbatan aniqlansa.
Simmetrik taqsimotda mediana birinchi va uchinchi kvartillar orasidagi masofaning o’rtasida joylashngan nuqta bo’lib, bu masofani teng ikki qismga bo’ladi, ya’ni _e-Q₁Q₃-_e
Bu farq variatsiya me’yori sifatida talqin etilishi mumkin. Ammo to’la simmetrik taqsimot hech qachon bo’lmagani uchun variatsiya me’yori qilib odatda uchinchi kvartil bilan mediana va mediana bilan birinchi kvartil o’rtasidagi yarim farq qabul qilinadi, ya’ni:


(6.23).

Nimkvartil kenglik to’plamning faqat markaziy qismiga xos o’zaruvchanlikni ta’riflaydi, boshqa qismlariga tegishli variatsiyani hisobga olmaydi. SHuning uchun ham misolimizda u absolyut o’rtacha tafovutga qaraganda kichik qiymatga ega bo’lgan.

Yuqorida ko’rib chiqilgan barcha variatsiya ko’rsatkichlari o’rganilayotgan belgi o’lchangan o’lchov birliklarida ifodalanadi. Ammo o’lchov birliklari har xil bo’lgan to’plamlar variatsiyasini bu ko’rsatkichlar yordamida qiyoslab bo’lmaydi. Turli tabiatga ega bo’lgan to’plamlarga xos variatsiyani hatto o’lchov birliklari bir xil bo’lsa ham, ular asosida taqqoslash mumkin emas. SHu sababli statistikada variatsiyaning nisbiy me’yorlaridan foydalanish tavsiya etiladi. Kvadratik o’rtacha tafovut, absolyut o’rtacha tafovut belgi o’lchami bilan ifodalangani uchun ularni belgi darajasining biror me’yoriga bo’lish kerak, masalan
Natijada hosil bo’lgan ko’rsatkichlar variatsiya ko’rsatkichlari deb ataladi. Yuqoridagi ifodalardan oxirgisi odatda foizda hisoblanadi va variatsiya koeffitsienti deb ataladi.



Bu yerda: - belgining arifmetik o’rtacha qiymati;
 - o’rtacha kvadratik tafovut.
O’rtacha miqdor nolga yaqin bo’lganda bu (6.24) koeffitsient birmuncha ishonchsiz hisoblanadi.