1-mavzu. Umumiy fizika faniga kirish Reja

ΔV = ΔV_τ + ΔV_n (1)
Buni Δt ga bo’lib, Δt → 0 intiltirib undan limit olamiz.

Δt → 0 bo’lganda M va N nuqtalar juda yakin joylashgan va ularning oniy tezliklari deyarli ustma-ust tushadigan xolda bo’ladi. Bu hol uchun (2) ni

holga utkazish mumkin.
a_τ - urinma yoki tangentsial tezlanish, a_n - normal yoki markazga intilma tezlanish deb ataladi.
Demak, egri chiziqli harakatni berilgan nuqtasidagi tezlanish vektorining oniy qiymati uning urinma va normal tashqil etuvchilari yig’indisiga teng ekan. a_τ - urinma tezlanish vaqt birligi ichida oniy tezlikning mikdoriy uzgarishini kursatadi va u
a_τ = dV / dt ga teng bo’ladi.
SHaklda ΔMDC va Δ MON uxshash uchburchaklar hosil bo’lgan.
Δt → 0 intilganda MN vatarni uzunligi ΔS yoyga M nuqta egriligi N nuqta egriligiga , v₂ → v₁ ga, tezlikni Δ v_n orttirmasi dv_n ga intiladi. Uchburchaklarning uxshashligidan

Normal tezlanish kuyidagicha bo’ladi.

aτ va an lar uzaro tik yunalgan, shu sababli MN tezlanishining son qiymati Agar bu tezlanishlardan biri, masalan an = 0 bulsa R ^→∞ bo’lib harakat to’g’ri chiziqli, agar aτ = 0 bulsa tezlikni fakat yo’nalishi uzgarib harakat aylana buylab tekis harakat bo’ladi.

Biz yuqorida MN-ning egri chiziqli harakatini ba’zi elementlarini urganib, bunday harakatda tezlanish ikkita tashkil etuvchidan iboratligini topdik.¹⁹
a= a_n + a_τ


To’g’ri chiziqli harakatda a_n=0 bo’lib, a=a_t bo’ladi. Harakatni oz bo’lsada egrilanishi a_n ni yuzaga kelishi bilan xarakterlanadi va bu normalь tezlanishni yunalishi traektoriyani botik tomoniga qaragan bo’ladi.

Traektoriyani egrilik darajasi quyidagicha bo’ladi Bu yerda Δφ - ΔS = AV masofada turuvchi urinmalar orasidagi burchak AOV ga teng. S ga teskari bo’lgan

ifoda egrilik radiusi deyiladi.
Bu kattalik ixtiyoriy egri chiziqning kichik yoyi bilan ustma-ust tushuvchi aylanani radiusiga teng bo’ladi. Aylanani markazi egrilik markazi deb xam yuritildai.

Rasmda gorizontga nisbatan burchak ostida otilgan koptokning trayektoriyasi keltirilgan.²⁰

Agar 0 boshlang‘ich tezlik bilan gorizontga  burchak ostida otilgan jism berilgan bo’lsa (1 - rasm), uning boshlang‘ich tezligining o‘qlardagi proeksiyalari quyidagicha bo’ladi:

1-rasm.

Jism gorizontga burchak ostida otilsa, vaqt o‘tishi bilan tezlikning OX o‘qdagi proeksiyasi o‘zgarmaydi va OX o‘q bo‘yicha teng vaqtlar ichida teng masofalarga siljiydi. Tezlikning OU o‘qdagi proeksiyasi esa har sekundda 9,81 m/s ga o‘zgarib boradi. CHunki og‘irlik kuchi vertikal o‘q bo‘yicha Er markaziga yo‘nalgan bo‘lib, OX o‘qida esa jismning tezligini o‘zgartiradigan hech qanday kuch yo‘q..

Demak ixtiyoriy paytdagi tezlikning o‘qlardagi proeksiyalari (ya’ni tezlik tenglamalari) quyidagicha:

Yer sirtidan biror y0 balandlikdan gorizontga  burchak ostida tepaga va pastga qiyalatib otilgan jismlar(2-rasm) uchun harakat tenglamalar quyidagicha bo’ladi:

2-rasm.


Isboti: harakat tenglamasi tezlik tenglamasining vaqt bo‘yicha boshlang‘ich funksiyasidir.

Harakat tenglamasi koordinatalarning vaqtga bog‘liqlik tenglamasi bo‘lsa, traektoriya tenglamasi esa koordinata o‘qlarining bir-biriga bog‘liqlik tenglamasidir. Mas: y=f(x) tekislikdagi traektoriya tenglamasi, z=f(x) va z=f(y) esa fazdagi traektoriya tenglamsidir. Harakat tenglamasidan traektoriya tenglamasiga o‘tish uchun vaqtdan voz kechishimiz, ya’ni vaqtni o‘yindan chiqarishimiz kerak bo‘ladi.
Er sirtidan u₀ balandlikdan gorizontga  burchak ostida tepa va pastga qiyalatib otilgan jismning traektoriya tenglamalari (-rasmlar)

↑↑↑

↓↓↓

Isboti: Harakat tenglamasidan vaqtni o‘yindan chiqaramiz.
Endi Yer sirtidan gorizontga nisbatan burchak ostida otilgan jismning harakatini qarab chiqamiz. Yer sirtidan jismni gorizontga nisbatan qandaydir burchak ostida biror boshlang‘ich tezlik bilan otganda, jism tezlik vektorining OX o‘qdagi proeksiyasi miqdor va yo‘nalish jihatidan o‘zgarmas qolib, OU o‘qdagi proeksiyasi esa har sekundda 9.81 m/s.ga o‘zgarib boradi. Gorizontga burchak ostida otilgan jism traektoriyasi paraboladan iborat. Yer sirtidan otilganda ko‘tarilish jarayoni tushish jarayoniga aynan o‘xshash, ya’ni qanday tezlik bilan otilsa, shu tezlik bilan tushadi, qanday burchak ostida otilsa, shu burchak ostida tushadi, qancha vaqtda ko‘tarilsa, shuncha vaqtda tushadi va hokoza..
_{Yer sirtidan gorizontga  burchak ostida 0 boshlang‘ich tezlik bilan otilgan jism(3-rasm) ning uchish vaqti tuch, ko‘tarilish vaqti tk, uchish uzoqligi luch, ko‘tarilish balandligi hmax lar quyidagicha ifodalanadi:}

3-rasm.
Isboti: Jismning harakat tenglamasidan foydalanamiz.
Jism Yerga tushganda bo‘ladi. . Bu Yerda: otilish momentiga to‘g‘ri kelsa, tushish momentiga to‘g‘ri keladi. SHuning uchun jismning uchish vaqti bo‘ladi. Ko‘tarilish vaqti esa bo‘ladi. Ko‘tarilish vaqti bo‘ladi. Uchish uzoqligi esa
bo‘ladi.
Agar Yer sirtidan gorizontga burchak ostida otilgan jismning uchish vaqti t_UCH ma’lum bo‘lsa, maksimal ko‘tarilish balandligi h_MAKS quyidagicha:

Isboti:
Agar Yer sirtidan gorizontga α burchak ostida otilgan jismning ko‘tarilish balandligi h_MAKS ma’lum bo‘lsa, uchish uzoqligi ℓ_UCH quyidagicha:

Isboti:
Agar Yer sirtidan gorizontga burchak ostida otilgan jismning uchish uzoqligi ℓ_UCH va uchish vaqti t_UCH ma’lum bo‘lsa, otilish burchagi kotangensi ctgα va tezligi υ₀ quyidagicha:

Isboti:

Yer sirtidan gorizontga nisbatan α burchak ostida υ₀ boshlang‘ich tezlik bilan otilgan jism(4-rasm) qancha vaqtdan keyin β burchak hosil qiladi? (t₁ va t₂ – mos ravishda ko‘tarilishda va tushishda β burchak hosil qilish vaqtlari)

4-rasm.


Isboti:

Yer sirtidan gorizontga biror burchak ostida υ₀ boshlang‘ich tezlik bilan otilgan jism(4-rasm)ning ixtiyoriy h balandlikdagi tezligi υ quyidagicha:


Og‘irlik kuchi ta’siri ostida harakatlanayotgan jism gorizont bilan ixtiyoriy burchak hosil qilgan paytdagi(5-rasm) normal tezlanish a_n , tangensial tezlanish a_τ va traektoriyaning egrilik radiusi ρ quyidagicha:

5-rasm.


Isboti: So‘ralgan kattaliklarni topish uchun tezlikning koordinata o‘qlardagi proeksiyalaridan hamda Yerkin tushish tezlanishining traektoriya bo‘yicha va traektoriyaga pYerpendikulyar yo‘nalgan o‘qlardagi proeksiyalaridan foydalanamiz.

Yer sirtidan gorizontga α burchak ostida υ₀ boshlang‘ich tezlik bilan otilgan jismning ixtiyoriy h balandlikdagi normal tezlanish a_n , tangensial tezlanish a_τ va traektoriyaning egrilik radiusi ρ quyidagicha:

Isboti:

Jismni gorizontga 45^0 burchak ostida otganda uchish uzoqligi maksimal bo‘ladi. Jismni 45^0-φ va 45^0+φ, ya’ni 45^0 ga simmetrik bo‘lgan burchaklar ostida otganda esa bir xil uzoqliklarga tushadi, lekin bundagi uchish uzoqligi maksimal uchish uzoqligidan kichik bo‘ladi(6-rasm).

6-rasm.

Yer sirtidan jismni bir xil boshlang‘ich tezliklar bilan turli burchaklar ostida otilganda(7-rasm), jismlar har bir holatda qandaydir parabolalar chizadi. Hosil bo‘lgan barcha parabolalarga tashqi tomondan urinuvchi bitta parabola borki, uni xavfsizlik parabolasi deyiladi. Samolyot xavfsizlik parabolasidan tashqarida uchib o‘tganda, Yerdan otilgan artillYeriya snaryadlari hech qachon samolyotga tegmaydi.

Xavfsizlik parabolasining tenglamasi quyidagicha:

Isboti: Har qanday parabolaning umumiy tenglamasi ko‘rinishda bo‘ladi. Xavfsizlik parabolasi OU o‘qqa simmetrik bo‘lgani uchun bo‘ladi. Ozod had esa parabola uchining koordinatasi bo‘lib, u jismni tik yuqoriga otganda jism shu nuqtaga etadi. YA’ni, bo‘dadi. Demak, bo‘ladi. Jism Yerga tushganda bo‘ladi. . Demak, xavfsizlik parabolasi tenglamasi .

7-rasm.

Biror balandlikdan y₀ nuqtadan gorizontga  burchak ostida otilgan jism(8-rasm)ning maksimal ko‘tarilish balandligi (h_max) quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:

Isboti: Agar jism Yer sirtidan otilganda edi, u balandlikka ko‘tarilishini ko‘rib o‘tdik. Endi biror balandlikdan turib otilsa, balandlikka ko‘tarilishi ko‘rinib turibdi.

8-rasm. 9-rasm.

Biror y₀ nuqtadan gorizontga nisbatan  burchak ostida ₀ tezlik bilan tepaga va pastga qiyalatib otilgan jismlar(9-rasm)ning tushish vaqti (t_uch), uchish uzoqligi (l_uchish), tushish tezligi (_TUSH ) va tushish burchagi (β_TUSH) quyidagicha bo’ladi:

↑↑↑

↓↓↓

Isboti: Harakat tenglamasidan foydalanamiz.


Biror balandlikdan gorizontal holda otilgan jismning traektoriyasi yarimparaboladan iborat. Bu yarimparabola Yerdan gorizontga burchak ostida otilgan jism harakat vaqtining 2-yarmida bosib o‘tgan traektoriyasining o‘zginasidir.
Ixtiyoriy h balandlikdan gorizontal ₀ tezlik bilan gorizontal otilgan jismning tushish vaqti (t_uch), uchish uzoqligi (l_uch), tushish tezligi () va burchagi () quyidagicha (-rasm):

Isboti: . Bu yerda .

Yuqoridagi formuladan ko‘rinadiki, biror balandlikdan gorizontal holda otilgan jismning tushish vaqti o‘sha balandlikdan Yerkin tushayotgan jismning tushish vaqtiga teng ekan.
Biror balandlikdan bir nechta jism har xil boshlang‘ich tezliklar bilan gorizontal holda otilsa, ular har xil masofalarga borib tushadi, lekin hammasining tushish vaqti bir xil bo‘lib, Yerkin tashlangan jismning tushish vaqtiga teng (10-rasm).

Biror balandlikdan gorizontal holatda otilgan jismning ixtiyoriy t vaqt o‘tgach tangensial tezlanishi a­τ , normal tezlanishi an va egrilik radiusi R quyidagicha bo’ladi:

10-rasm.

Isboti:

11-rasm. Gorizontal otilgan jismning troektoriyasi haqida Aristotel va Nyutonlarning qarashlari²¹

12-rasm Gorizontal otilgan jismning gorizontal va vertikal tashkil etuvchilari²²
Bir nuqtadan turli burchak ostida otilgan jismlarning har ondagi geometrik o‘rni harakatlanuvchi va kattalashuvchi sfera qobig‘ida yotadi. Sfera markazining harakati o‘sha nuqtadan Erkin tushayotgan jism harakati bilan bir xil bo‘ladi(13-rasm).

13-rasm.

Sfera markazining harakat va tezlik tenglamalari hamda sfera radiusi vaqtga bog‘liqlik tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

Bohqacha aytganda bu joyda ham massalar markazi harakatining saqlanish qonuni bajariladi.