1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

Q.E.D.

2. 
   
   { }
   - Misol. 2⁻ⁿ ketma-ketlik cheksiz kichikdir. Haqiqatan, (1.1.12) ga ko'ra,
   

2⁻ⁿ < ¹ .

n

Endi talab qilinayotgan tasdiq ¹ ketma-ketlikning cheksiz kichikligidan kelib

n

chiqadi (2.1.1 - Misolga qarang).

3. 
   - Tasdiq. Ikki cheksiz kichik ketma-ketliklarning yig'indisi va ayirmasi yana cheksiz kichik ketma-ketlik bo'ladi.
   

Isbot. Aytaylik, α_n va β_n cheksiz kichik ketma-ketliklar bo'lsin. Cheksiz kichik
ketma-ketlik ta'rifiga ko'ra, istalgan ε > 0 uchun shunday N₁ nomer topiladiki,

n ≥ N₁ bo'lganda
ε
|α_n| < ₂ (2.1.10)

tengsizlik bajariladi. Xuddi o'sha ε > 0 uchun yana shunday N₂ nomer ham

topiladiki, n ≥ N₂ bo'lganda

tengsizlik bajariladi.

Agar
ε
|β_n| < ₂ (2.1.11)


N = max{ N₁, N₂ }

≥
desak, n N bo'lganda har ikkala (2.1.10) va (2.1.11) tengsizliklar baravariga bajariladi.

Natijada,
|α_n + β_n| ≤ |α_n| + |β_n|

tengsizlikdan foydalansak, (2.1.10) va (2.1.11) larga ko'ra,
|α_n + β_n| < ε, n ≥ N (2.1.12)
baho hosil bo'ladi.
Oxirgi (2.1.12) tengsizlik {α_n+β_n} ketma-ketlikning cheksiz kichikligini anglatadi.
{α_n − β_n} ketma-ketlikning cheksiz kichikligi,
|α_n − β_n| ≤ |α_n| + |β_n|
tengsizlikdan foydalanib, xuddi yuqoridagidek isbotlanadi.

Q.E.D.

3. 
   - Tasdiq. Chegaralangan ketma-ketlik bilan cheksiz kichik ketma-ketlikning ko'paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlik bo'ladi.
   

{ } { }
Isbot. Faraz qilaylik, x_n chegaralangan va α_n cheksiz kichik ketma-ketliklar
bo'lsin. Chegaralangan ketma-ketlikning ta'rifiga binoan, biror M > 0 o'zgarmas uchun (2.1.5) tengsizlik o'rinli bo'ladi. Cheksiz kichik ketma-ketlikning ta'rifiga ko'ra esa, istalgan ε > 0 uchun shunday N nomer topiladiki, n ≥ N larda

ε

|α_n| < _M (2.1.13)
bo'ladi.
Natijada, (2.1.5) va (2.1.13) tengsizliklardan

ε
|x_nα_n| < M _M = ε, n ≥ N
baho kelib chiqadi. Bu esa {x_nα_n} ketma-ketlik cheksiz kichikligini anglatadi.

Q.E.D.

{ } { }
Ta'kidlash joizki, istalgan x_n ketma-ketlikni c songa ko'paytirishni biz x_n
ni statsionar c, c, c, ... ketma-ketlikka ko'paytirish deb qarashimiz mumkin.

3. 
   - Tasdiq. Ikki cheksiz kichik ketma-ketliklarning ko'paytmasi yana cheksiz kichik ketma-ketlik bo'ladi.
   

Isbot 2.1.1 va 2.1.4 - Tasdiqlardan darhol kelib chiqadi.

3. 
   
   { } { } { }
   - Tasdiq. Ikki α_n va β_n ketma-ketliklar cheksiz kichik bo'lib, x_n
   

ketma-ketlik


α_n ≤ x_n ≤ β_n
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda {x_n} ketma-ketlik ham cheksiz kichik bo'ladi. Isbot. Ravshanki, tasdiq shartidan quyidagi qo'shaloq tengsizliklar kelib chiqadi:

−|α_n| − |β_n| ≤ x_n ≤ |α_n| + |β_n|.

Haqiqatan, masalan, o'ngdagi tengsizlik (chap qismi ham xuddi shunday isbotlanadi) quyidagicha o'rnatiladi:


x_n ≤ β_n ≤ |β_n| ≤ |α_n| + |β_n|.
Endi, agar o'rnatilgan tengsizlikni unga teng kuchli quyidagi:

|x_n| ≤ |α_n| + |β_n|
ko'rinishda yozib olsak, talab qilinayotgan tasdiq 2.1.2 va 2.1.3 - Tasdiqlardan kelib chiqadi.

Q.E.D.

Eslatma. Isbotlangan tasdiq, matematikada ikki militsioner prinsipi deb ataluvchi, quyidagi matematik folklorning xususiy holidir: agar qochuvchi (ya'ni x_n) hamma vaqt 0 punktga intiluvchi ikki militsioner (ya'ni α_n va β_n) orasida bo'lsa, qochuvchi ham oxir-oqibat shu punktga boradi.

2. 
   Endi istalgan yaqinlashuvchi ketma-ketliklarni o'rganishga o'tamiz. Bunda bizning asosiy qurolimiz cheksiz kichik ketma-ketliklarning yuqorida o'rnatilgan xossalari bo'ladi.
   

Avvalo, navbatdagi tasdiq o'rinli ekanini qayd etamiz.

3. 
   
   { } { − }
   - Tasdiq. x_n ketma-ketlik a songa yaqinlashishi uchun x_n a ketma- ketlikning cheksiz kichik bo'lishi zarur va yetarli.
   

Isbot limit va cheksiz kichik ketma-ketlik ta'riflaridan bevosita kelib chiqadi.

{ }
Shunday qilib, x_n ketma-ketlik a songa faqat va faqat quyidagi tenglik o'rinli bo'lgandagina yaqinlashadi:
x_n = a + α_n,
bunda {α_n} - cheksiz kichik ketma-ketlik.
Endi biz yaqinlashuvchi ketma-ketliklar ustida arifmetik amallar haqidagi teoremalarni isbot qila olamiz.

1. 
   
   { } { }
   - Teorema. Ikki yaqinlashuvchi x_n va y_n ketma-ketliklar yig'indisi
   

ham yaqinlashuvchi bo'lib, yig'indining limiti limitlar yig'indisi teng bo'ladi:
lim (x_n + y_n) = lim x_n + lim y_n. (2.1.14)

n→∞
n→∞
n→∞

→ →
Isbot. Faraz qilaylik, x_n a va y_n b bo'lsin. U holda, 2.1.7 - Tasdiqqa asosan,
x_n = a + α_n, (2.1.15)
va
y_n = b + β_n (2.1.16)

{ } { }
tengliklar o'rinli bo'ladi, bu yerda α_n va β_n - cheksiz kichik ketma-ketliklar.
Avvalgi band natijalarini hisobga olib, bu ikki tengliklarni qo'shsak,
x_n + y_n = a + α_n + b + β_n = (a + b) + γ_n

{ }
tenglik hosil bo'ladi, bunda γ_n - cheksiz kichik ketma-ketlik.

{ }
O'rnatilgan tenglik, 2.1.7 - Tasdiqqa ko'ra, x_n + y_n ketma-ketlikning a + b
songa yaqinlashishini anglatadi.