1. Sanlı izbe-izlik dep natural sanlar toplaminda anıqlanǵan hám haqıyqıy bahalar qabıl etiwshi

Q.E.D.

Eslatma. Bu teoremada kesmalar o'rniga intervallarni olish mumkin emas.

1

Chunonchi, quyidagi ichma-ich joylashgan intervallar (0,
) ketma-ketligini qaraylik.

n

Bu intervallarning har biri avvalgisi ichiga joylashgan bo'lib, ularning uzunligi nolga
intiladi. Lekin bu intervallarning barchasiga tegishli bo'lgan nuqta mavjud emas. Boshqacha aytganda, bu intervallar barchasining kesishmasi bo'sh to'plamdir.

2.4. Ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari

1. 
   Ushbu paragrafda biz yaqinlashmaydigan ketma-ketliklarni o'rganamiz. Ko'pgina amaliy masalalarni yechishda aynan shunday ketma-ketliklarni o'rganishga to'g'ri keladi. Ba'zan bu ketma-ketliklar biror songa yaqinlashishi uchun ularni qismlarga ajratish yetarli bo'ladi. Ana shu o'rinda hosil bo'ladigan limitlarga qismiy limitlar deyiladi.
   

Ketma-ketlik limitga ega bo'lsa, u yaqinlashuvchi deyilar edi. Ravshanki, agar ketma-ketlik yaqinlashsa, u yagona limitga ega. Haqiqatan ham, agar u ikkita a va b limitlarga ega deb faraz qilsak,
x_n = a + α_n = b + β_n

bo'ladi va bundan


b − a = α_n − β_n → 0

−
ni olamiz. Demak, b a = 0, ya'ni b = a ekan.
Ammo uzoqlashuvchi ketma-ketliklarda qismiy limitlar ko'p bo'lishi mumkin. Qismiy limitga aniq ta'rif berish uchun qismiy ketma-ketlik tushunchasini kiritamiz.
Ixtiyoriy qat'iy o'suvchi {k_n} natural sonlar ketma-ketligini tanlaymiz, ya'ni