Q.E.D.
{ } { }
- Teorema. Ikki yaqinlashuvchi xn va yn ketma-ketliklar ko'paytmasi yana yaqinlashuvchi bo'lib, ko'paytma limiti limitlar ko'paytmasiga teng bo'ladi:
lim ( xn · yn) = lim xn · lim yn. (2.1.17)
n→∞
n→∞
n→∞
→ →
Isbot. Faraz qilamiz, xn a va yn b bo'lsin. U holda, 2.1.7 - Tasdiqqa asosan, (2.1.15) va (2.1.16) tengliklar o'rinli bo'ladi. Bu ikki tengliklarni o'zaro ko'paytirib, oldingi band natijalarini hisobga olsak,
xn · yn = (a + αn)(b + βn) = ab + a · βn + b · αn + αn · βn = ab + γn
bo'ladi, bu yerda {γn} - cheksiz kichik ketma-ketlik.
{ · }
O'rnatilgan tenglik, 2.1.7 - Tasdiqqa ko'ra, xn yn ketma-ketlik ab songa
yaqinlashishini anglatadi.
Q.E.D.
Natija. {xn} va {yn} ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo'lsin. U holda, ixtiyoriy
λ va µ haqiqiy sonlar uchun {λxn + µyn} ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo'lib,
lim (λxn + µyn) = λ lim xn + µ lim yn
n→∞
tenglik o'rinli bo'ladi.
n→∞
n→∞
Bu xossaga limitga o'tish amalining chiziqliligi deyiladi.
Xususan, λ = 1 va µ = −1 bo'lganda oxirgi tenglikdan
lim (xn − yn) = lim xn − lim yn (2.1.18)
munosabatni olamiz.
n→∞
n→∞
n→∞
Ikki yaqinlashuvchi ketma-ketliklar nisbatini o'rganishga o'tamiz. Bunda maxrajda turgan ketma-ketlikning barcha hadlari va uning limiti noldan farqli bo'lishi zarur.
2.1.1 - Lemma. Berilgan { yn} ketma-ketlik b /= 0 songa yaqinlashsin. U holda, shunday N nomer topiladiki, barcha n ≥ N lar uchun
2
tengsizlik bajariladi.
|yn
| ≥ |b| > 0 (2.1.19)
Isbot. Limit ta'rifiga ko'ra, istalgan ε > 0 olganda ham shunday N = N ( ε)
nomer topiladiki, u uchun
| yn − b| < ε, n ≥ N ( ε)
tengsizlik bajariladi.
Bundan
| yn| = | b + yn − b| ≥ | b| − | yn − b| > | b| − ε, n ≥ N
kelib chiqadi. Bu tengsizlikda ε = |b|
2
desak, talab qilingan (2.1.19) tengsizlikni
olamiz.
Q.E.D.
Eslatma. Isbotlangan lemma, xususan, noldan farqli limitga ega bo'lgan ketma- ketlik faqat chekli sondagi nolga teng hadlarga ega bo'lishi mumkinligini anglatadi.
Endi ikki ketma-ketlik nisbatining limiti haqidagi teoremani isbotlashimiz mumkin.
2.1.3 - Teorema. Faraz qilaylik, {xn} ketma-ketlik a songa v a {yn } ketma-ketlik
xn
n
esa b /= 0 songa yaqinlashsin. U holda biror nomerdan boshlab y
a
ketma-ketlik
aniqlangan bo'lib, u
songa yaqinlashadi.
b
→ →
Isbot. Shartga ko'ra, xn a va yn b bo'lsin. U holda 2.1.7 - Tasdiqqa asosan, (2.1.15) va (2.1.16) tengliklar bajariladi. Shunday ekan, 2.1.1 - Lemmaga asosan biror nomerdan boshlab quyidagi tengliklarni yozishimiz mumkin:
xn − a = bxn − ayn = b(a + αn) − a(b + βn) .
yn b
byn
byn
−
Agar biz bu tenglikda γn = αn (a/b)βn deb belgilasak, γn - cheksiz kichik ketma-ketlik bo'lib,
n
n
xn a 1
tenglik o'rinli bo'ladi.
y − b = γn · y
, (2.1.21)
{ }
- Lemmaga ko'ra 1/yn ketma-ketlik chegaralangan, shuning uchun 2.1.4
- Tasdiqdan (2.1.21) ning o'ng qismi cheksiz kichik ketma-ketlik ekanligi kelib chiqadi. Demak,
lim
xn = a.
n→∞ yn b
Q.E.D.
Shunday qilib, 2.1.3 - Teoremaga asosan, nisbatning limiti limitlar nisbatiga teng ekan.
Shubhasiz, agar yn ketma-ketlikning barcha elementlari noldan farqli bo'lsa,
xn ketma-ketlik barcha n larda aniqlangan bo'ladi.
yn
Shunga ahamiyat berish joizki, agar biz ketma-ketlikning istalgan chekli sondagi elementlarini o'zgartirsak, uning yaqinlashish xossasi ham va limiti ham o'zgarmaydi. Xususan, agar ketma-ketlikning chekli sondagi elementlari nolga teng bo'lsayu, biz ularni, masalan, birlar bilan almashtirsak, biz nolga teng bo'lmagan elementlardan iborat yangi ketma-ketlik olamiz va eski bilan yangi ketma-ketliklar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashuvchi bo'ladilar. Bundan tashqari, bordiyu ular yaqinlashsa, ularning limitlari teng bo'ladi.
Ushbu bandda biz tengsizliklarda limitga o'tishni o'rganamiz.
{ } ≥
≥
- Lemma. Agar xn ketma-ketlik a songa yaqinlashib, xn 0 bo'lsa, u holda a 0 bo'ladi.
≥ →
Isbot. Shartga ko'ra xn 0 va xn a bo'lsin. Demak, limit ta'rifiga asosan, istalgan ε > 0 uchun shunday N nomer topiladiki,
| xn − a| < ε, n ≥ N
bo'ladi.
1.3.2 - Tasdiqdan bu tengsizlikning quyidagi qo'shaloq tengsizlikka ekvivalent ekanligini olamiz:
− ε < xn − a < ε. (2.1.22)
Shunday ekan, xn ≥ 0 shartdan va (2.1.22) ning o'ng tarafidagi tengsizlikdan,
ε + a > xn ≥ 0 , ya'ni ε + a > 0
bahoni hosil qilamiz, bundan chiqdi, istalgan musbat ε uchun
a > − ε (2.1.23)
tengsizlik o'rinli bo'lar ekan.
Oxirgi tengsizlik a son har qanday manfiy sondan katta ekanini anglatadi va shuning uchun u manfiy bo'la olmaydi. Demak, a ≥ 0.
Q.E.D.
- Teorema(tengsizliklarda limitga o'tish haqida). Agar ikki yaqinlashuvchi
{xn} va {yn} ketma-ketliklarning barcha elementlari
xn ≤ yn (2.1.24)
tengsizlikni qanoatlantirsa, ularning limitlari ham shu tengsizlikni qanoatlantiradi:
lim
n→∞
xn lim
≤
n→∞
yn. (2.1.25)
— ≥
Isbot. (2.1.24) ga ko'ra yn xn 0 tengsizlik o'rinli va shuning uchun, 2.1.2 - Lemmaga asosan,
— ≥
lim (yn xn) 0.
n→∞
Endi (2.1.18) tenglikni qo'llab, talab qilingan (2.1.25) munosabatni olamiz. Q.E.D.
Eslatma. Agar (2.1.24) shartni qat'iy xn < yn tengsizlikka o'zgartirsak, bundan, umuman aytganda, limitlar uchun ham qat'iy tengsizlik kelib chiqmaydi. Masalan,
1
agar xn = 0 va yn =
n
biroq
ketma-ketliklarni olsak,
xn < yn,
lim xn = lim yn = 0.
n→∞ n→∞
Navbatdagi teorema matematik tahlilda muhim rol o'ynaydi.
- Teorema. Faraz qilaylik, {xn} va {yn} ketma-ketliklar bitta songa yaqinlashsin va {zn} ketma-ketlik
xn ≤ zn ≤ yn (2.1.26)
tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda { zn} ketma-ketlik ham xuddi o'sha songa yaqinlashadi.
{ } { }
Isbot. Shartga ko'ra, xn va yn ketma-ketliklar limiti a soni bo'lsin. Shunday
ekan, (2.1.26) tengsizlikdan
xn − a ≤ zn − a ≤ yn − a (2.1.27)
munosabat kelib chiqadi.
2.1.7 - Tasdiqqa asosan, { xn − a} va { yn − a} ketma-ketliklar cheksiz kichik bo'ladi. Demak, (2.1.27) va 2.1.6 - Tasdiqqa ko'ra, { zn − a} ketma-ketlik ham cheksiz kichik bo'ladi, ya'ni zn → a.
Q.E.D.
Eslatma. Isbotlangan teorema yuqorida keltirilgan ikki militsioner prinsipi ning yana bir varianti: agar qochuvchi (ya'ni zn) hamma vaqt biror a punktga intiluvchi ikki militsioner (ya'ni xn va yn) orasida bo'lsa, qochuvchi ham oxir- oqibat shu punktga keladi.
Sonli ketma-ketliklarni o'rganishdagi asosiy muammo bu ularning limitga ega bo'lishligidir. Umumiy holda bu muammoni hal qilish ancha murakkab bo'lsa-da, lekin ketma-ketliklarning ba'zi sinflari uchun u nisbatan oson hal qilinadi. Shu ma'noda monoton ketma-ketliklar ayniqsa sodda xossalarga ega.
Ta'rif. Agar barcha n nomerlar uchun
xn ≤ xn+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.1)
{ }
tengsizliklar o'rinli bo'lsa, xn ketma-ketlikni o'suvchi deymiz.
Agarda quyidagi qat'iy
xn < xn+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.2)
{ }
tengsizliklar o'rinli bo'lsa, xn ketma-ketlikni qat'iy o'suvchi deymiz.
Masalan, xn = n ketma-ketlik qat'iy o'suvchidir.
Kamayuvchi ketma-ketliklar ham shunga o'xshash aniqlanadi.
Ta'rif. Agar barcha n nomerlar uchun
xn ≥ xn+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.3)
{ }
tengsizliklar bajarilsa, xn ketma-ketlikni kamayuvchi deymiz.
Agarda quyidagi qat'iy
xn > xn+1, n = 1, 2, 3, ... (2.2.4)
{ }
tengsizliklar bajarilsa, xn ketma-ketlikni qat'iy kamayuvchi deymiz.
O'suvchi ketma-ketliklarni va kamayuvchi ketma-ketliklarni monoton ketma-
ketliklar deyiladi. Ba'zan, qat'iy o'suvchi va qat'iy kamayuvchi ketma-ketliklar qat'iy monoton ketma-ketliklar deyiladi.
Dostları ilə paylaş: |
