1. To‘plamlar va ular ustida amallar

1.2-ta’rif. Har qanday ikkita to‘plamning barcha elementlaridan, ularni takrorlamasdan, tuzilgan to‘plamga shu to‘plamlarning birlashmasi (yoki yig‘indisi) deb aytiladi.
Bu ta‘rifdan ko‗rinib turibdiki, to‗plamlarning umumiy elementlari shu to‗plamlarning birlashmasiga faqat
bir martadan kiritiladi. Berilgan to‗plamlarning birlashmasidagi har qanday element shu to‗plamlarning

hech bo‗lmaganda bittasiga tegishlidir. A va B
1.1- shakl

to‗plamlarning birlashmasi A kabi belgilanadi. Bu yerda ― A va B
to‗plamlarga birlashma amalini qo‗llab, A to‗plam hosil qilindi‖
deyish mumkin. 1.1-shaklda A va B to‗plamlar doiralar ko‗rinishida,
A to‗plam esa bo‗yab tasvirlangan.

Yuqoridagi ta‘rifni quyidagicha ko‘rinishda berish ham keltirish
^{mumkin (ushbu qo‗llanmada}  ^hamda  ^{belgilari ―va‖ hamda ―yoki‖} so‗zlariga mos keladi).
A x  A  x  B_

1.1-misol.

A {a,b},
B {a,b,c} va
C {e, f , k}
bo‗lsin. U holda

E  A B {a,b,c},
E C {a,b,c,e, f , k},
C B {a,b,c,e, f , k},

A C {a,b,e, f ,k} bo‗ladi.
1.3-ta’rif. Har qanday ikkita to‘plamning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan to‘plamga to‘plamlarning kesishmasi (yoki ko‘paytmasi) deyiladi.
Berilgan A va B to‗plamlarning kesishmasi A kabi
belgilanadi. Bu yerda ― A va B to‗plamlarga kesishma amalini qo‗llab,
A to‗plam hosil qilindi‖ deyish mumkin.


To‗plamlar kesishmasini quyidagicha izohlash ham mumkin:

A
1.2- shakl
x  A  x  B_

to‗plam A va B to‗plamlarning kesishmasi deyiladi.
1.2-shaklda A va B to‗plamlar doiralar ko‗rinishida, A to‗plam esa bo‗yab tasvirlangan. To‗plamlar ustidagi amallarning yuqorida ta‘kidlangan o‗ziga xos xususiyatlari to‗plamlar ko‗paytmasini

(kesishmasini) topishda ham namoyon bo‗ladi. Masalan, A  B
bo‗lsa,

u holda A
va B
bo‗ladi.

1.4-ta’rif. Bitta ham umumiy elementga ega bo‘lmagan ikkita to‘plamlarning kesishmasi bo‘sh to‘plam deb ataladi.
Bo‘sh to‘plam har qanday to‘plamning qism to‘plami hisoblanadi.
1.5-ta’rif. Kesishmasi bo‘sh bo‘lgan to‘plamlar o‘zaro kesishmaydigan, kesishmasi bo‘sh bo‘lmagan to‘plamlar esa o‘zaro kesishadigan to‘plamlar deb ataladi.

1.2-misol.

A {a,b,c},
B {a,b,c, d},
C {e, f , k}
bo‗lsa, u holda

D  A B {a,b,c},
D B {a,b,c} bo‗ladi.
1.6-ta’rif. Ixtiyoriy A va B to‘plamlar berilgan bo‘lsin. A to‘plamning B to‘plamda bo‘lmagan barcha elementlaridan tuziladigan to‘plamni hosil qilish A to‘plamdan B to‘plamni ayirish deb, tuzilgan to‘plam esa, shu A va B to‘plamlarning ayirmasi deb ataladi.



1.3- shakl

A to‗plamdan B to‗plamni ayirish natijasida hosil bo‗lgan
to‗plam, ya‘ni A va B to‗plamlarning ayirmasi A \ B yoki A  B
ko‗rinishida belgilanadi.
To‗plamlar ayirmasini quyidagicha ham ta‘riflash mumkin A va B
^{to‗plamlarning ayirmasi deb A \ B } ^{x : x  A  x  B} ^to‗plamga aytiladi.

1.3-shaklda A va B to‗plamlar doiralar ko‗rinishida,
to‗plam esa bo‗yab tasvirlangan.
A \ B

Ixtiyoriy A va B to‗plamlar uchun A bo‗lsa, u holda
A \ B  va B \ A  bo‗lishi ta‘rifdan bevosita kelib chiqadi.
1.3-misol. A {a,b}, B {a,b,c}, C {e, f , k} bo‗lsa, u holda

A \ B  ,
B \ A {c},
B \ C  bo‗ladi.

1.7-ta’rif. Faraz qilaylik, A va B to‘plamlar berilgan va A  B
bo‘lsin. Bu holda B to‘plamning A to‘plamga kirmagan barcha
elementlaridan tashkil topgan B \ A to‘plam A to‘plamning B

to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plami deb ataladi.
A to‗plamning B to‗plamgacha to‗ldiruvchi to‗plami, odatda, ^A_B

ko‗rinishda belgilanadi. Bu yerda ― A_B
to‗plam A to‗plamni

B to‗plamgacha to‗ldiradi‖ yoki ― A to‗plamni B
to‗plamgacha to‗ldirish amalini qo‗llab, A_B to‗plam hosil

qilindi‖ deyish mumkin. 1.4-shaklda A to‗plam kichik doira,
1.4- shakl

B to‗plam katta doira ko‗rinishida,



A_B to‗plam esa bo‗yab tasvirlangan.

To‗plamlar ustidagi yuqorida keltirilgan birlashma, kesishma va
to‗ldiruvchi to‗plam tushunchalari ta‘riflarini bevosita qo‗llab,

A A_B
^{ B} ,
A A_B
^{ } ,
^{A \ A}_B ^{ A} va
A_B \ A  A_B
tengliklarni hosil

qilish qiyin emas.
1.4-misol. Barcha juft sonlar to‗plamini


A {2, 4,..., 2n,...}

( n  N

) deb belgilasak, A to‗plamni N to‗plamgacha to‗ldirish amalini qo‗llab

A_N  {1,3,..., 2n 1,...}
to‗plamni, ya‘ni barcha toq sonlar to‗plamini

hosil qilamiz. Demak, barcha toq sonlar to‗plami barcha juft sonlar to‗plamini natural sonlar to‗plamigacha to‗ldiradi. Xuddi shunga o‗xshash, barcha toq sonlar to‗plamini natural sonlar to‗plamigacha to‗ldirish amalini qo‗llab, barcha juft sonlar to‗plamini hosil qilish mumkin.
Ba'zan, A va B to‗plamlarning simmetrik ayirmasi tushunchasini

kiritish maqsadga muvofiq bo‗ladi.
A \ B va
B \ A to‗plamlarning

birlashmasidan iborat to‗plamga A va B to‗plamlarning simmetrik
ayirmasi deyiladi va u odatda AB ko‗rinishda belgilanadi, ya‘ni
AB  ( A \ B) (B \ A).
Bu yerda ― AB to‗plam A to‗plamdan B
to‗plamni ayirib va B to‗plamdan A to‗plamni ayirib so‗ngra hosil bo‗lgan to‗plamlar birlashtirildi‖ deyish mumkin. 1.5-shaklda A va B to‗plamlarning

1.5-shakl
simmetrik ayirmasi AB bo‗yab tasvirlangan.

1.5-misol. 1.1-misolda qaralgan A va B

to‗plamlarning simmetrik ayirmasi
AB {c} to‗plamdan iborat bo‗ladi.

To‘plam buleani tushunchasi. To‗plamlar nazariyasida bulean tushunchasi kiritilgan bo‗lib, u muhim tushunchalardan biri hisoblanadi.
1.8-ta’rif. Berilgan A to‘plamning barcha qism to‘plamlaridan tuzilgan to‘plam A to‘plamning buleani ( A to‘plam uchun bulean) deb ataladi.
^{A to‗plamning buleani} 2^{A ko‗rinishda belgilanadi.}
1.9-ta’rif. A to‘plam elementlari soniga uning quvvati deyiladi va
A ko’rinishida belgilanadi.

1.6-misol. To‗rtta elementga ega
A {a,b,c, d}
to‗plam uchun

bulean o‗n oltita qism to‗plamlardan iborat bo‗ladi:
2^A  {,{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a, d},{b,c},{b, d},{c, d},
{a,b,c},{a,b, d},{a,c, d},{b,c, d},{a,b,c, d}}.
Demak, | A | 4 va 2^A  16 .
To‗plamlar algebrasida ham algebradagi munosabatlarga o‗xshash qoidalar qaraladi. To‗plamlar algebrasidagi munosabatlar universal to‗plamning va uning xos qism to‗plamlarining qanday bo‗lishidan qat‘iy nazar o‗z kuchini saqlaydi. Bu yerda, asosan, birlashma, kesishma, ayirma va to‗ldirish amallari o‗rtasidagi o‗zaro munosabatlar muhim hisoblanadi.
To‗plamlar nazariyasidagi munosabatlar, ko‗pincha, tengliklar ko‗rinishida namoyon bo‗ladi. Bu yerda tengliklarni isbotlashda hajmiylik aksiomasidan foydalangan holda quyidagicha mulohaza yuritish usuli ko‗p qo‗llaniladi. Agar tenglikning chap tomonidagi to‗plamga tegishli ixtiyoriy element u‘ning o‗ng tomonidagi to‗plamda ham topilib va, aksincha, tenglikning o‗ng tomonidagi to‗plamga tegishli ixtiyoriy element uning chap tomonidagi to‗plamda ham bor bo‗lsa, u holda bu tenglik to‗g‗ridir. Boshqacha aytganda, ixtiyoriy A va B

to‗plamlar uchun A  B
tenglikni isbotlash A  B
va B  A

munosabatlarning to‗g‗riligini ko‗rsatishga tengkuchlidir.
Odatda, to‗plamlar algebrasidagi ― ∪ ‖, ―∩ ‖ va ― ^\ ‖ belgilar bilan ifodalanuvchi birlashma, kesishma va ayirma amallari, bo‗sh (  ) va universal (^U ) top‘lamlar hamda xos ( ) va xosmas ( ^ ) qism to‗plamlar, mos ravishda, sonlar algebrasidagi ―+‖, ― ‖ va ―–‖ belgilar bilan ifodalanuvchi qo‗shish, ko‗paytirish va ayirish amallari, nol (0) va bir

1. 
   ^{sonlar hamda katta emas (}  ^{) va kichik (  ) munosabatlari bilan} qiyoslanadi.
   

To‗plamlar ustida munosabatlarni ifodalovchi asosiy tengliklarni qarab chiqamiz.

Universal to‗plam U
va uning ixtiyoriy
A , B
va C qism to‗plamlari

uchun quyidagi tengliklar o‗rinlidir:

1. 
   (Nolning xossalari). A
   

^{∩ A  } .

2. 
   (Birning xossalari). A
   

^{U ∪ A  U} .


 A,


U  A,
∪ A  A_,
^{U ∩ A  A},
^{A ∩  } ,
^{A ∪ U  U} ,

3. 
   (Idempotentlik qonuni).
   

A ∪ A  A_,
^{A ∩ A  A}.

4. 
   (Nol va birning bog‘liqligi xossasi).
   

^{  U} ,


^{U  } .

5. 
   (Involyutivlik qonuni).
   

^{A  A}.

6. 
   (birlashmaga nisbatan kommutativlik qonuni). ^{A ∪ B  B ∪ A}.
   
7. 
   (birlashmaga nisbatan assosiativlik qonuni).
   

( A ∪ B) ∪ C  A ∪ (B ∪ C) _.

8. 
   (kesishmaga nisbatan kommutativlik qonuni). A ∩ B  B ∩ A.
   
9. 
   (kesishmaga nisbatan assosiativlik qonuni).
   

( A ∩ B) ∩ C  A ∩ (B ∩ C) _.

10. 
    (birlashmaga nisbatan distributivlik qonuni
    

^{А ∪ (B ∩ C)  ( А ∪ B) ∩ ( А ∪ C)} .

11. 
    (kesishmaga nisbatan distributivlik qonuni).
    

А ∩ (B ∪ C)  ( А ∩ B) ∪ ( А ∩ C) _.

12. 
    
    

A ∩ B  A ∪ B _.

13. 
    

ataladi) .
A ∪ B  A ∩ B
(12 va 13 tengliklar de Morgan qonunlari deb

14. 
    A
    

( A B)  A.

15. 
    

ataladi).
A ∩ ( A ∪ B)  A
(14 va 15 tengliklar yutilish qonunlari deb

Yuqorida keltirilgan tengliklarni tahlil qilinganda ularning ba‘zi xususiyatlarini payqash mumkin. Masalan, 10- va 11-, 12- va 13- hamda 14- va 15- tengliklarning biri ikkinchisidan va belgilarni o‗zaro almashtirish yordamida hosil qilinishi mumkin. Xuddi shunday, nolning xossalari bilan birning xossalari to‗g‗risida ham quyidagilarni aytish mumkin: bu xossalarni ifodalovchi tengliklarning biri ikkinchisidan va belgilarni o‗zaro almashtirish hamda  va U belgilarni o‗zaro almashtirish natijasida kelib chiqadi.
To‗plamlar algebrasida agar biror tenglikdan shu tenglikdagi (bor bo‗lsa) belgisini belgisiga, ni ga, ni U ga, U ni ga birdaniga almashtirish natijasida boshqa tenglikni hosil qilish mumkin bo‗lsa, u holda hosil qilingan tenglik dastlabki tenglikka ikki taraflama (qo‘shma) tenglik deb yuritiladi.
Biror tenglikka ikki taraflama hisoblangan tenglik uchun ikki taraflama tenglik dastlabki tenglik bilan bir xil bo‗ladi. Shuning uchun bu tengliklar o‘zaro ikki taraflama (qo‘shma) tengliklar deb
nomlanadi. Masalan, nolning xossasini ifodalovchi A va

birning xossasini ifodalovchi A
(qo‗shma) tengliklardir.