1. To‘plamlar va ular ustida amallar

2 . Munosabatlar. Binar munosabatlar. Ekvivalentlik munosabati.

Tartiblangan to‘plamlar.


^{2.1-ta’rif. A to‘plamning B to‘plamga R munosabati deb} A B

^{to‘g‘ri ko‘paytmaning} R  A B
quyidagicha ifodalanadi:
qism to‘plamiga aytiladi. Munosabatlar

aRb , agar
 a,b 
R  A B ^.

(Bu ta‘ririf binar munosabatlar uchun, ya‘ni ikkita to‘plam orasidagi munosabat)
2.2-ta’rif. Agar A=B bo‘lsa, u holda R munosabat A to‘plamdagi munosabat deyiladi.
A to‘plamdagi turli munosabatlar orasida quyidagi munosabatlar ahamiyatli:

• 
  umumiylik munosabati: U
  

 A  B

• 
  to‘ldirish munosabati:
  

R  U \ R

• 
  teskari munosabat: { a, b : b, a  R}
  

• 
  ayniyat:
  

I  { a, a : a  A}

2.3-ta’rif.

kompozitsiyasi deb
R₁  A  B va
R₂  B  C
munosabatlarning

R R  A C  { a,c : b  B : aR b, bR c} munosabatiga
1 2 1 2
aytiladi.
A to‘plamdagi munosabatlar kompozitsiyasi deb A to‘plamdagi munosabatlarga aytiladi.
2.4-ta’rif. A to‘plamidagi R munosabatlar darajasi uning o‘ziga

bo‘lgan kompositsiyasiga
Rⁿ 
R...R
n...marta

Nolinchi va birinchi darajali munosabatlar darajasini kiritish orqali quyidagi ta‘rifga ega bo‘lamiz:

R  I , R¹  R, R²  R R, ... , Rⁿ
_{ R}n 1_R

Agar juftlik biror bir n quvvatli A to‘plamdagi R munosabatlar darajasiga taaluqli bo‘lsa, u holda bu juftlik n-1 dan yuqori bo‘lmagan R darajaga ham ham taaluqli bo‘ladi.
(R  A², | A | n) 
i  1 i  1
To‘plamda munosabatlar xususiyatlari:
A to‘plamda R munosobat 𝑅 < 𝐴² ga teng bo‘lsin.

To‘plamda munosabatlar asosiy xususiyatlarini qarab chiqamiz.

Agar Agar
a  A a,a  R
a  A a,a  R
bo‘lsa, R refleksiv xususiyatga ega; bo‘lsa, R antirefleksiv xususiyatga ega;

ega;
Agar
a  a,b  R  b,a  R
bo‘lsa, R simmetrik xususiyatga

Agar
a,b  A ( a,b  R  b, a  R)  a  b
antisimmetrik

xususiyatiga ega;

Agar
a,b,c  A ( a,b  R  b,c  R)  a,c  R
tranzitivlik

xususiyatiga ega;

Agar
a,b  A ( a,b  R)
yoki ( b,a  R)
bo‘lsa, to‘liq (yoki

chiziqli) bo‘ladi.
A to‘plamda R munosobat ^{R  A2} ko‘rinishda bo‘lsin. U holda,
R refleksiv I  R
R antirefleksiv  ^{R  I  }

R simmetrik 
R antisimmetrik 
R  R^1
R  R^1  I

R tranzitiv  R R  R

R to‘liq 
R  I  R^1  U
bo‘ladi.

Funksiyalar. Funksiya matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, A to‘plamni B to‘plamga bir qiymatli akslantiruvchi

munosabatni ifodalab,
f : A  B
ko‘rinishda yoziladi.

2.5-ta’rif: f – munosabat A to‘plam bilan B to‘plam o‘rtasidagi
( a,b  a  f , a,c  f )  b  c,
ko‘rinishdagi munosabat bo‘lsin, u holda bunday munosabatga funksiya deyiladi va quyidagicha belgilanadi:
f
f : A  B yoki A B

Agar
 a,b  f
bo‘lsa, u holda
b  f (a)
bo‘ladi, a funksiya

argumenti deb, b esa funksiya qiymati deb ataladi.

2.6-ta’rif: Agar
chiqsa, u holda
b  f (a₁) va
b  f (a₂ )
ekanligidan
a₁  a₂
kelib

f : A  B
funksiya in‘yektiv deyiladi.

2.7-ta’rif: Agar chiqsa, u holda
b  B, a  A
munosabatlaridan
b  f (a)
kelib

f : A  B
funksiya syub‘yektiv deyiladi.

2.8-ta’rif: Agar
f : A  B
funksiya bir vaqtning o‘zida ham

in‘yektiv, ham syur‘yektiv bo‘lsa, u holda, funksiya biyektiv yoki o‘zaro bir qiymatli deyiladi,
Bir vaqtning o‘zida refliksivlik, simmetriklik va tranzitivlik shartlari bajariladigan munosabatga ekvivalentlik munosabati deyiladi.
Agar R ekvivalentlik munosabatida  a,b  R bajarilsa, quyidagi belgilash ishlatiladi:
a  b .
2.9-ta’rif: R – A to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. A
to‘plamning a elementi bilan R munosabatda bo‘lgan to‘plamga,

a  A
elementning ekvivalentlik sinfi deyiladi:
[a]  {b | a  b}
Bunda quyidagi munosabatlar bajarilishi lozim:
a  A[a]   ,
a  b [a]  [b],
a  b [a] [b]  .

2.10-ta’rif: Birlashmasi A to‘plamga teng bo‘lgan, A ning o‘zaro kesishmaydigan qism to‘plamlariga, to‘plamni bo‘laklash deyiladi.
_{ {Bi }iI ,} A to‘plam qism to‘plamlarining biror to‘plami
^bo‘lsin. T, A ni bo‘laklash deyiladi, agarda  uchun quyidagi xossa ^o‘rinli bo‘lsa:

B_i  B_j
^{ } bunda i 
j,
iI

Faktor to’plam. A to‘plamning, R ekvivalentlik munosabatiga nisbatan ekvivalentlik munosabatlar to‘plami faktorto‘plam deyiladi va A / R ko‘rinishda belgilanadi.
Faktorto‘plam, A to‘plamning barcha qism to‘plamalari

to‘plamining qism to‘plami hisoblanadi: A:
A / R  2^A

2.1-misol. Z butun sonlar to‘plami uchun quyidagi R munosabatni o‘rnatamiz:
aRb, agarda a-b, 5 ga qoldiqsiz bo‘linsa.
Ushbu munosabat ekvivalentlik munosbatidir, chunki, bunda refleksivlik, simmetriklik, va tranzitivlik munosabatlari qoldiqli bo‘lish amalining xossalaridan kelib chiqadi.
Z ning Z/R faktor to‘plami quyidagi 5 ta ekvivalentlik sinfidan iborat bo‘ladi:
Z / R {[0],[1],[2],[3],[4]}

Tartiblash munosabati. Tartiblash munosabati matematika, informatika va kundalik hayotda keng qo‘llaniladi. U yoki bu ob‘ektlalarni tartiblash tez-tez uchrab turadigan hodisa.
Matemtikada, maksimum, minimum, funksiya monotonligi tushunchalarining asosini munosabat belgilaydi.
Informatikada, barcha saralash, qidirish va boshqa algoritmlar tartiblash munosabatiga tayanadi.
2.11-ta’rif: Antisimmetrik tranzitv munosabat tatiblash munosabati deyiladi.
2.12-ta’rif: Refleksiv tartiblash munosabati noqat‘iy tatiblash munosabati
deyiladi.
2.13-ta’rif: Antirefleksiv tartiblash munosabati qat‘iy tatiblash munosabati
deyiladi.
2.14-ta’rif: Agar tartiblash munosabati to‘liq bo‘lsa, u to‘liq yoki chiziqli tartiblash deyiladi, aks holda qisman tartiblash deyiladi.
Agar R – tartiblash munosabati bo‘lsa, u holda aRb quyidagilarni bildiradi:
a  b qat‘iy tartib;
a  b noqat‘iy tartib;
a  b umumiy holda.
2.15-ta’rif: A to‘plamning a elementi tartiblash munosabiga nisbatan minimal element deyiladi, agarda unga nisbatan kichik element mavjud bo‘lmasa:
b  A :(b  a,b
2.16-ta’rif: A va B tartiblangan to‘plamalar bo‘lsin. Agarda

a₁, a₂  A
uchun
a₁  a₂
dan
f (a₁) 
f (a₂ )
kelib chiqsa,
f : A  B

funksiya monoton deyiladi.
2.17-ta’rif: Agarda
a₁, a₂  A


uchun
a₁  a₂

dan
f (a₁) 

f (a₂ )

kelib chiqsa,
f : A  B
funksiya qat‘iy monoton deyiladi.

2.2-misol: А={1,2,3,4} to‘plamda R={<x; y>: x > y} munosabat
mavjud bo‘lsin. R ning qiymatlari va aniqlanish sohasini toping. R ^1 R ;
R ∘ R munosabatlarni matrisalar usulida aniqlang. Munosabatlarning
xossalarini keltiring.
Yechimi: Dastlab А to‘plamning
R: R = {<2, 1>, <3, 1>, <3, 2>, <4, 1>, <4, 2>, <4, 3>} munosabatga
tegishli barcha elementlari tartiblangan juftliklarini hosil qilamiz.

Munosabatning aniqlanish sohasi D_R={2,3,4}, qiymatlari sohasi
E_R = {1,2,3}.

_R 1
={<у; х>: <x; y>
R }={<x; y>: y>x}={<x; y>: x<y}.

R ^{={<х; у>: <x; y> R }={<x; y>: x  y}.
R, R -1;} R ^va R ∘ R ^{munosabatlarning matrisalari quyida keltirilgan:}

 ^{0 0}


₁
|| R || ^{1 0}
_ 1
_1 1


_1 1

^{0 0}

0 0_

0

0
_ ;

1 0_
1 1_

 ^{0 1 1}


 ₀
|| R ^1 || ^{ 0 0 1}
_ 0 0
_ 0 0 0
 ^{0 0 0}

¹


₁
1_{ ;}

0_
⁰


 ₀
|| R || ^{ 0 1}
_ 0
_ 0 0
1 1_

1

1
 ;

0 1_
|| R
∘ R || ^{ 0 0 0}

_1
 0 0
_1 1 0
0<sub> .

0</sub>

0_

R munosabat
|| R ∘ R ||
kompoiztsiyasining r_ij elemuntlarini aniqlashni

bir nechta misolda tushuntiramiz: r₁₁  0  0  0 1 0 1 0 1  0 _; r₁₂  0 0  0  0  01 01  0 _; r₁₃  0  0  0  0  0  0  0 1  0 _;

^r14
^{ 0  0  0  0  0  0  0  0  0} ;

r₂₁ 1 0  0 1 0 1 0 1  0_;
R munosabat antirefliksiv hisoblanadi, sababi istalgan x^ R
element uchun x>x shart bajarilmaydi.
R munosabat nosemmitrik, sababi istalgan x, y^ А elementlar uchun, x>y ekanligidan y>x kelib chiqmaydi.
R antisimmetrik hamda tranzitiv xususiyatga ega sababi istalgan x, y, z^ А elementlar uchun: agar x>y va y>z bo‘lsa, demak x>z.