1. To‘plamlar va ular ustida amallar

Ekvivalent tasdiqlar:

tengliklar o‗zaro ikki taraflama

Ixtiyoriy ekvivalentdir:
^A va ^B
to‘plamlar uchun quyidagi tasdiqlar

1) A  B; 2) A B  A; 3) A B  B .
1.7-misol: A  _3,5, 7,9,11,18_ , В  _1,5,8,9,10_,
С  _1, 2,3, 4,5_

to‘plamlar berilgan, to‘plamlar kesishmasining assosiativlik qonunini isbotlang.
^Yechimi:  ^{А  В}  ^{ С  А }  ^{В  С}  ^{ayniyatni isbotlash uchun}
_ А  В _  С  А  _ В  С _ va А  _ В  С _  _ А  В _  С qism
to‘plam shartlarini bajarilishini ko‘rib chiqamiz.

1. 
   ^{Aytaylik x } ^{А  В}  ^{ С bo‘lsin, u holda quyidagilarga ega} bo‘lamiz
   

_x  A  B,

_ x  A,


^ x  B, ^
x  A,

_ x  С,

^_x  С,
_x  B  C,

Bundan esa,
x  А  _ В  С _
kelib chiqadi

2. 
   ikkinchi qarashlilik ham shunga o'xshash tarzda isbotlanadi:
   

^{Aytaylik у  А }  ^{В  С}  ^{bo‘lsin, bundan quyidagilarga ega} bo‘lamiz

_ у  A,

_ у  A,
^ у  B,
_ у  A  B,


_ у  B  C,

^_ у  С, ^
у  С.

^{natijada у } ^{А  В}  ^{ С}
kelib chiqadi. Ayniyat isbotlandi.

_ А  В _  С  А  _ В  С _
tenglikni berilgan А, В, С to‘plamlar

^{misolida tekshirib ko‘ramiz: В  С } ^1,5^{, А }  ^{В  С}  ^ ⁵^;
A  B  _5_, _ А  В _  С  _5_. Demak, _ А  В _  С  А  _ В  С _.
1.8-misol: Koordinatalar tekisligida x²+y² ≤1 va x²+(y-1)² ≤1 shartlarni qanoatlantiradigan koordinata tekisligining A va B nuqtalari to‘plamini aniqlang. 2-rasmdagi qaysi figuralar A  B, ^А _{to‘plamlarni} ifodalaydi^?
Yechimi: Ikkala to'plam ham tekislikda radiusi R = 1 teng bo'lgan doiralarni bildiradi, birinchi doira markazi koordinatalari (0, 0) nuqtada, ikkinchisining markazi esa (0, -1) nuqtada joylashgan. А, В, A  B, ^А to‘plamlarni ifodalovchi figuralar 2-rasmda keltirilgan.
у

		1
			1

х
A B A  B ^А
2-rasm
1.9-misol: Istalgan А, В va С to‘plamlar uchun: 1) A  B ; 2)

A B  A ; 3) A
ifodalar tengligini isbotlang.

Yechimi: Birinchi shartdan ikkinchisi kelib chiqishini isbotlaymiz.

A B 
^A ekanligidan ^{A  A}
kelib chiqishini qaraymiz. Agar

x  A bo‘lsa, u holda x  B _bo‘ladi. Aslida, A  B
ekanligidan

x  A kelib chiqadi.
Ikkinchi shartdan uchinchisi kelib chiqishini qarab chiqamiz.
A ekanligidan ^A deb olish mumkin. Yutilish

qonuniga ko‘ra ^B
 ^{A B}  ^{ B bo‘ladi va kommutativlik qonunini}

qo‘llab A B  B ga ega bo‘lamiz.

Endi uchinchi shartdan birinchisini kelib chiqishini isbotlaymiz.
A  A B ekanligidan uchinchi shartga binoan A B  B bo‘lsa, demak

A  B .
1.10-misol: Agar


A  {1, 2, 3, 4, 5}_,


B  {2,3, 4,5, 6}_, A  {2,3, 6, 7}_,

D  {2, 5, 6, 7,8}_,
I  {1,...,8} ( I  A, B, C, D larga nisbatan universal) bo‘lsa,

A  C  A  B  C  A  C  D
to‘plam elementlarini aniqlang (yutilish qoidasini qo‘llab):

Yechimi:

To‘plamlar algebrasidagi 11)- va 2)-qoidalarga asosan,
A  C  A  B  C  ( A  C)  (U  B) deb yozish mumkin.
Yana 2)-qoidaga asosan, A  C  A  C  A  C ; U  B  U va

( A  C)  U
 A  C
bo‘ladi. Natijada, berilgan ifoda

A  C  A  C  D
bor qo‘llab
ko‘rinisni oladi. 11)- va 2)- qoidalarni yana bir

A  C  A  C  D  ( A  C)  (U  D) ;
( A  C)  U  A  C larni hosil qilamiz.
Demak, natija A  C  {2,3}.
1.11-misol: Quyidagi ifodani soddalashtiring:
A  B  C  A  B  C  A  B ;

Yechimi:

Berilgan ifodaning A  B  C  A  B  C
A  B  C  A  B  C  ( A  B )  (C  C )
qismini
deb yozish mumkin.

C  C  U
ekanligini hisobga olsak, ( A  B) U
 A  B
bo‘ladi.

Demak, U  (C  A  B )  U yechim bo‘ladi.
1.12-misol: … nuqtalarni o‘rniga = yoki ≠ belgilarni qo‘ying.
1) A  B  C  B  C...A  C ;

Yechimi:

2)-qoidaga asosan, (B  C)  (B  C)  B  C ; bo‘ladi.
А ∪ (B ∩ C)  ( А ∪ B) ∩ ( А ∪ C)
^{10)- qoidaga asosan} A ^ekanligidan
nuqtalar o‘rniga ≠ qo‘yishimiz kelib chiqadi.

To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi.

1.10-ta’rif. Tartiblangan
A₁, A₂ ,..., A_n
to‘plamlar elementlaridan

tuzilgan n o‘rinli barcha qism to‘plamiga shu to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi (qisqacha, Dekart ko‘paytmasi) deb ataladi.
Ba‘zan to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi iborasi o‗rniga
to‘plamlarning to‘g‘ri ko‘paytmasi iborasidan ham foydalaniladi.

Tartiblangan
A₁, A₂ ,..., A_n
n
to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi

A₁  A₂ ... A_n
yoki
 ^Ai
i1
ko‗rinishda belgilanadi, ya‘ni

A₁  A₂ ... A_n



 _ A_i
i1
 { a₁, a₂ ,..., a_n

• 
  | a_i  A_i ,i  1, n}.
  

To‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi tushunchasining aniqlanishida bu ko‗paytmada qatnashuvchi to‗plamlarning soni ham muhim hisoblanadi. n ta to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi iborasi o‗rniga n o‘rinli Dekart ko‘paytmasi iborasi ham qo‗llaniladi.

Tabiiyki, agar
A₁, A₂ ,..., A_n
to‗plamlarning birortasi bo‗sh to‗plam

bo‗lsa, u holda ulardan foydalanib birorta ham qism to‘plam tuzish imkoniyati yo‗q. Demak, tarkibida hech bo‗lmasa bitta bo‗sh to‗plam

qatnashgan
A₁, A₂ ,..., A_n
to‗plamlarning Dekart ko‗paytmasi ham bo‘sh

to‗plamdir, ya‘ni
A₁  A₂ ... A_n
 .

Dekart ko‗paytmasidan to‗plamlar bilan bog‗liq murakkab tuzilmalarni hosil qilishda va ularda ko‗paytma tushunchasini aniqlashda foydalaniladi. To‗plamlarning to‗g‗ri ko‗paytmasi tushunchasidan

foydalanib, to‘plamning darajasi tushunchasi
Aⁿ 
n marta

formula asosida kiritiladi. Masalan,
^{A1  A} ,
A²  A A^{. Umuman}

olganda,
^{An  A  An1} .

n o‗rinli
A  A₁  A₂ ... A_n va
B  B₁  B₂ ... B_n
Dekart

ko‗paytmalari berilgan bo‗lsin. Agar
A₁  B₁,
A₂  B₂ ,…, A_n  B_n

munosabatlar o‗rinli bo‗lsa, u holda A Dekart ko‗paytmasi B Dekart