2-mavzu. Kvadrat matritsaning determınantlar

^2-mavzu. Kvadrat matritsaning determınantlar

Reja:

1. 
   Ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar
   
2. 
   n - tartibli determinant tushunchasi
   
3. 
   Determinantlarni xossalari va ularni hisoblash
   

Determinant tushunchasidan dastlab chiziqli tenglamalar sistemasini yechishda foydalanilgan bo‘lib, keyinchalik determinantlar matematikaning bir qancha masalalarini yechishga, jumladan xos sonlarni topishga, differensial tenglamalarni yechishga, vektor hisobiga, keng tatbiq etildi .

Ikkinchi va uchunchi tartibli determinantlar

Ikkinchi tartibli determinant

det A 
^a11
^a12
 a a

• 
  a a
  

(1)

kabi belgilanadi va aniqlanadi.

^a21
^a22
11 22
12 21

a₁₁, a₁₂ , a₂₁, a₂₂ sonlarga determinantning elementlari deyiladi. Bunda
^a11^{, a}12

1-satr,
^a21^{, a}22
2 -satr,
^a11^{, a}21
1-ustun va
^a12 ^{, a}22
2 -ustun elementlari hisoblanadi,

ya’ni
^aij
determinantning i -satr va j - ustunda joylashgan elementini ifodalaydi.

^a11^{, a}22
elementlar joylashgan diagonalga determinantning bosh diagonali,

^a21^{, a}12
elementlar joylashgan diagonalga determinantning yordamchi diagonali

deyiladi.
Shunday qilib, ikkinchi tartibli determinant bosh diagonal elementlari ko‘paytmasidan yordamchi diagonal elementlari ko‘paytmasini ayrilganiga teng:


2.1-misol. Berilgan
determinantlarni hisoblang.

3
1. ₄
^{ 2}  3  5  (2)  4  15  8  23;
5

tg
^2. sin
sin
ctg
 tg  ctg  sin sin  1  sin ²   cos² .

Matritsaning muhim tavsiflaridan biri determinant hisoblanadi. Determinant faqat kvadrat matritsalar uchun kiritiladi.

A kvadrat matrisaning determinanti
det A
bilan belgilanadi. Masalan,

^{ a}11
^a12 ^
a11
^a12

A  
 ^a21

^a22 
matritsaning determinanti
det A 
^a21
^a22
kabi aniqlanadi.

Bunda matritsani uning determinanti bilan adashtirmaslik kerak: mattitsa – bu sonlar massivi; determinant – bu bitta son.

Uchinchi tartibli determinant

^a11 ^a21
^a31
^a12 ^a22
^a32
^a13 ^a23
^a33


^{ a}11^a22^a33 ^{ a}12^a23^a31 ^{ a}13^a21^a32 ^

^{ a}13^a22^a31 ^{ a}12^a21^a33 ^{ a}11^a23^a32
kabi belgilanadi va aniqlanadi.
(2)

Uchinchi tartibli determinant uchun satr, ustun, bosh diagonal, yordamchi diagonal tushunchalari ikkinchi tartibli determinantdagi kabi kiritiladi.
Uchinchi tartibli determinantlarni hisoblashda (1.2.2) tenglikning o‘ng tomonidagi birhadlarni topishning yodda saqlash uchun oson bo‘lgan qoidalaridan foydalaniladi.
«Uchburchak qoidasi» ushbu sxema bilan tasvirlanadi ²:

Bunda
diagonallardagi yoki asoslari diagonallarga parallel bo‘lgan uchlaridagi elementlar uchta elementning ko‘paytmasini hosil
uchburchaklar qiladi. Agar

uchburchaklarning asoslari bosh diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning

1. 
   Lay, David C. Linear algebra and is applications. Copyright. 2012, pp.162-169
   

ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi. Agar uchburchaklarning asoslari yordamchi diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.
«Sarryus qoidalari» quyidagi sxemalar bilan ifodalanadi ³:
1-qoidada avval determinant tagiga uning birinchi ikkita satri yoziladi, 2-qoidada esa determinantning o‘ng tomoniga uning birinchi ikkita ustuni yoziladi. Bunda diagonallardagi yoki diagonallarga parallel bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlardagi elementlar uchta ko‘paytuvchini hosil qiladi. Agar to‘g‘ri chiziqlar bosh diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi ishorasini saqlaydi.
Agar to‘g‘ri chiziqlar yordamchi diagonalga parallel bo‘lsa, u holda elementlarning ko‘paytmasi teskari ishora bilan olinadi.

2.2-misol. 1. hisoblang.
Yechish.
2
det A  3 1
 1 3
2  1
3  2


determinantlarni uchburchak qoidasi bilan

2  1
3 2
1 3
3
 1 ^
 2
2
^{8  1  27  20,} 3
1
 1 3
2  1^
3  2


_{6  6  6  6,} det A  20  6 14.

2. 
   E.Kreyszig. Advancet engineering Matematics. Copyright. 2011, pp. 257-259
   

1

2. 
   det B  3
   

2
5 3
1  2
 4 1


determinantni Sarryusning 1-qoidasi bilan hisoblang.

1 5
3 1
2  4
1 5
3 1
₃-
 2^{-
1 -}
₃



2

₂  1  36  20  6  8  15  84.

3

2. 
   det C  2
   

3
4  1
0 3
 1 2
determinantni Sarryusning 2-qoidasi bilan hisoblang.

^- _- -
3 4  1 3 4
2 0 3 2 0  ₃  0  36  2  0  9  16  31.

3  1
2 3 _  1 _