2-mavzu. Kvadrat matritsaning determınantlar


n - tartibli determinant tushunchasi

n - tartibli determinant

det A 
^a11 ^a21
...
^an1
^a12 ^a22
...
^an 2
...
...
...
...
^a1n ^a2 n
...
^ann

kabi belgilanadi va ma’lum qoida asosida hisoblanadi.

n - tartibli determinant har bir satr va har bir ustundan faqat bittadan olingan
n ta elementning ko‘paytmasidan tuzilgan n! ta qo‘shiluvchilar yig‘indisidan
iborat bo‘ladi, bunda ko‘paytmalar bir-biridan elementlarining tarkibi bilan farq qiladi va har bir ko‘paytma oldiga inversiya tushunchasi asosida plyus yoki minus ishora qo‘yiladi.
n -tartibli determinantni bu qoida asosida ifodalash etarlicha noqulaylikka ega. Shu sababli yuqori tartibli determinantlarni hisoblashda bir nechta ekvivalent

qoidalardan foydalaniladi. Bunday qoidalardan biri yuqori tartibli determinantlarni quyi tartibli determinantlar asosida hisoblash usuli hisoblanadi. Bu usulda determinant biror satr (yoki ustun) bo‘yicha yoyiladi. Bunda quyi (ikkinchi va uchunchi) tartibli determinantlar yuqorida keltirilgan ta’riflar asosida topiladi.
n -tartibli determinantlarni yoyishda minor va algebraik to‘ldiruvchi tushunchalaridan foydalaniladi.

n -tartibli determinant
^aij
elementining minori deb, shu element

joylashgan satr va ustunni o‘chirishdan hosil bo‘lgan
(n  1) - tartibli

determinantga aytiladi va
^M ij
bilan belgilanadi.

Determinant
^aij
elementining
A_ij algebraik to‘ldiruvchisi deb,

ij
songa aytiladi.
1 3 2
^Aij
 (1)^{i j} M

Masalan,
2 0 1
3 2  2
determinantning
a₂₁  2
elementining minori va

algebraik to‘ldiruvchisi quyidagicha topiladi:

1 3 2
2 0 1
3 2  2

3
 M ₂₁  ₂

²  10,
 2


^A21

 (1)^21 M

21
 10.

Determinantning xossalari

Determinantning xossalarini uchinchi tartibli determinant uchun keltiramiz.
Bu xossalar ixtiyoriy n - tartibli determinant uchun ham o‘rinli bo‘ladi.
1-xossa. Transponirlash (barcha satrlarni mos ustunlar bilan almashtirish) natijasida determinantning qiymati o‘zgarmaydi, ya’ni

det A 
^a11 ^a21
^a31
^a12 ^a22
^a32
^a13
a₂₃ 
^a33
^a11 ^a12 ^a13
^a21
^a22
^a23
^a31
^a32
^a33

 det A^T .

Isboti. Xossani isbotlash uchun tenglikning chap va o‘ng tomonidagi determinantlarning qiymatlarini uchburchak qoidasi orqali yozib olish va olingan ifodalarning tengligiga ishonch hosil qilish kifoya.

1. 
   xossa satr va ustunlarning teng huquqligini belgilab beradi. Boshqacha aytganda satrlar uchun isbotlangan xossalar ustunlar uchun ham o‘rinli bo‘ladi va aksincha. Shu sababli keyingi xossalarni ham satrlar va ham ustunlar uchun ifodalab, ularning isbotini faqat satrlar yoki faqat ustunlar uchun ko‘rsatamiz.
   
2. 
   xossa. Determinant ikkita satrining (ustunining) o‘rinlari almashtirilsa, uning qiymati qarama-qarshi ishoraga o‘zgaradi. Masalan,
   

^a11 ^a21
^a31
^a12 ^a22
^a32
^a13 ^a23
^a33
^a21
  a₁₁ ^a31
^a22 ^a12 ^a32
^a23
a₁₃ .
^a33

Bu xossa ham 1-xossa kabi isbotlanadi.

3. 
   xossa. Agar determinant ikkita bir xil satrga (ustunga) ega bo‘lsa, u nolga teng bo‘ladi.
   

Isboti. Haqiqatdan ham determinantda ikkita bir xil satrning o‘rinlari almashtirilsa, uning qiymati o‘zgarmaydi. Ikkinchi tomondan 2-xossaga

ko‘ra determinant qiymatining ishorasi o‘zgaradi. Demak
det A  det A, yoki

2det A  0 . Bundan det A  0.

4. 
   xossa. Determinantning biror satri (ustuni) elementlari  songa ko‘paytirilsa, determinant shu songa ko‘payadi va aksincha determinant biror satr (ustun) elementlarining umumiy ko‘paytuvchisini determinant belgisidan tashqatiga chiqarish mumkin. Masalan,
   

a
11
^a21
^a31

12

a
^a22
^a32

13

a
^a23
^a33


  
^a11 ^a21
^a31
^a12 ^a22
^a32
^a13 ^a23 ^.
a33

Isboti. Tenglikning chap tomondagi determinant hisoblanganida oltita qo‘shiluvchining hammasida  ko‘paytuvchi qatnashadi.

Bu ko‘paytuvchini qavsdan tashqariga chiqarib, qavslar ichidagi qo‘shiluvchilardan determinant tuzilsa, tenglikning o‘ng tomondagi ifoda hosil bo‘ladi.

5. 
   xossa. Agar determinant biror satrining (ustunining) barcha elementlari nolga teng bo‘lsa, u nolga teng bo‘ladi.
   

Xossaning isboti 4-xossadan
  0
da kelib chiqadi.

6.