2-mavzu. Kvadrat matritsaning determınantlar

Uchburchak ko‘rinishga keltirish usuli

Bu usulda determinant xossalar yordamida soddalashtiriladi va uchburchak ko‘rinishga keltiriladi, ya’ni diagonalidan pastda (yuqorida) joylashgan barcha elementlari nolga aylantiriladi.
Bunda

bo‘ladi [3], bu yerda
det A  (1)^k detU
k  satrlarda va ustunlarda bajarilgan barcha o‘rin

almashtirishlar soni;
detU berilgan determinantning uchburchak ko‘rininshi

va uning qiymati quyidagi xossa asosida hisoblanadi:
Xossa. Uchburchak ko‘rinishidagi determinant bosh diagonalda joylashgan elementlarining ko‘paytmasiga teng ⁵.

2	1	0	0
3	0	1	0
1	0	2	1
0	1	0	2

2.4-misol.
det A 

determinantni ushburshak ko‘rinishga keltirib, hisoblang.
Yechish. Determinant ustida quyidagi soddalashtirishlarni bajaramiz:
- birinchi ustunni o‘zidan o‘ngda joylashgan ustunlar bilan ketma-ket o‘rin almashtirib, to‘rtinchi ustunga o‘tkazamiz;
k  3 ta

• 
  birinchi ustunning birinchi satridan pastda joylashgan elementlarini nolga aylantiramiz;
  
• 
  ikkinchi ustunning ikkinchi satridan pastda joylashgan elementlarini nolga aylantiramiz;
  
• 
  uchinchi ustunning to‘rtinchi satrida joylashgan elementini nolga aylantiramiz;
  

- (1)^k
 (1)³  1
ko‘paytuvchi bilan hosil bo‘lgan uchburchak

ko‘rinishgagi determinantning bosh diagonalda joylashgan elementlarini ko‘paytiramiz.

2 1
det A  ^{3 0}
1 0
0 1
0 0 1
^{1 0}  (1)³  ⁰
2 1 0
0 2 1
0 0 2
1 0 3
2 1 1
0 2 0
1 0 0 2
 (1)  ^{0 1 0 3} 
0 2 1 1
0 0 2  2

1	0	0	2		1	0	0	2
0	1	0	3	 (1) 	0	1	0	3
0	0	1	 5	0		0	1	 5
0	0	2	 2	0		0	0	8

 (1)   (1) 111 8  8.
Teskari matritsa va uni topish. kvadrat matritsa uchun birlik matritsa bo’lsa, kvadrat matritsa matritsaga teskari matritsa deyiladi. Odatda, matritsaga teskari matritsa bilan belgilanadi.
Teorema: kvadrat matritsa teskari matritsaga ega bo’lishi uchun matritsaning determinanti 0 dan farqli bo’lishi zarur va yetarlidir. (Bu teoremani isbotsiz keltirdik, uning isbotini kengroq dasturli kurslardan topish mumkin, masalan, V.E.Shneyder va boshqalar. «Oliy matematika qisqa kursi» 1tom. T. O’qituvchi. 1985. 407 b.)
kvadrat matritsa uchun bo’lsa, unga teskari bo’lgan yagona matritsa mavjud.

matritsaga teskari matritsa

formula bilan topiladi. Bunda mos ravishda elementlarning algebraik to’ldiruvchilari va .
Teskari matritsani topishga misol qaraymiz.
1-misol. Ushbu

matritsaga teskari matritsani toping.
Yechish. Oldin matritsaning determinantini hisoblaymiz:

Yuqoridagi teoremaga asosan teskari matritsa mavjud, chunki ya’ni, berilgan matritsa maxsusmas matritsadir. ni topish uchun matritsa hamma elementlarining algebraik to’ldiruvchilarini topamiz:

Teskari matritsani topish
formulasiga asosan

bo’ladi. teskari matritsaning to’g’ri topilganligini

tenglikning bajarilishi bilan tekshirib ko’rish mumkin, haqiqatan ham,


ya’ni, birlik matritsa hosil bo’ladi, bu teskari matritsaning to’g’ri topilganligini isbotlaydi.