2-mavzu. Kvadrat matritsaning determınantlar

xossa. Agar determinantning ikki satri (ustuni) proporsional bo‘lsa, u nolga teng bo‘ladi. Masalan,

a
^a11
11
^a31
^a12

a
12
^a32
^a13

a
13
^a33

 0.

Isboti. 4-xossaga ko‘ra determinant ikkinchi satrining  ko‘paytuvchisini determinant belgisidan chiqarish mumkin. Natijada ikkita bir xil satrli determinant qoladi va u 3-xossaga ko‘ra nolga teng bo‘ladi.

7. 
   xossa. Agar determinant biror satrining (ustunining) har bir elementi ikki qo‘shiluvchining yig‘indisidan iborat bo‘lsa, bu determinant ikki determinant yig‘indisiga teng bo‘lib, ulardan birinchisining tegishli satri (ustuni) elementlari birinchi qo‘shiluvchilardan, ikkinchisining tegishli satri (ustuni) elementlari ikkinchi qo‘shiluvchilardan tashkil topadi.
   

a^

a^
Isboti. Determinant birinchi satrining har bir elementi ikkita qo‘shiluvchi yig‘indisidan iborat bo‘lsin. U holda

a^

11

11

11

12

12

11
 a^
 a^
 a^

12

13

12

13
^a21
^a22
^a23
 (a^

• 
  a^ )a
  

22^a33
 (a^

• 
  a^ )a
  

23^a31 ^

 (a^

^a31

• 
  a^ )a
  

^a32

1. 
    (a^
   

^a33

• 
  a^ )a a
  

 (a^

• 
  a^ )a a
  

 (a^

• 
  a^ )a a 
  

13 13
21 32
13 13
22 31
12 12
21 33
11 11
23 32

 a^ a a

• 
  a^ a a
  
• 
  a^ a a
  

• 
  a^ a a
  
• 
  a^ a a
  
• 
  a^ a a
  

• 
  (a^ a a
  
• 
  a^ a a 
  

11 22 33
12 23 31
13 21 32
13 22 31
12 21 33


a^
11 23 32


a^ a^
11 22 33


a^ a^
12 23 31


a^

13
^{ a}1^3^a21^a32 ^{ a a}
22^a31

• 
  a^ a
  

21^a33

• 
  a^ a
  

23^a32 ^{) }
11
^a21
12
^a22
13
a₂₃ 
11
^a21
12
^a22
13
a₂₃ .

12

11
^a31
^a32
^a33
^a31
^a32
^a33

8. 
   xossa. Agar determinantning biror satri (ustuni) elementlariga boshqa satrining (ustunining) mos elementlarini biror songa ko‘paytirib qo‘shilsa, determinantning qiymati o‘zgarmaydi.
   

Isboti.
det A
determinantning ikkinchi satri elementlariga  ga ko‘paytirilgan

birinchi satrning mos elementlari qo‘shilgan bo‘lsin:

^a21
^a11

11
 a ^a31


^a22
^a12

12
 a ^a32


^a23
^a13

13
 a 
^a33

^a11
 a₂₁
^a31
^a12 ^a22
^a32
^a13 ^a23
^a33

  

^a11 ^a11 ^a31
^a12 ^a12 ^a32
^a13 ^a13 ^a33

Qo‘shiluvchilardan birinchisi det A ga va ikkinchisi esa 3-xossaga ko‘ra nolga
teng. Demak, yig‘indi det A ga teng.

9. 
   xossa. Determinantning qiymati uning biror satri (ustuni) elementlari bilan shu elementlarga mos algebraik to‘ldiruvchilar ko‘paytmalarining yig‘indisiga
   

teng bo‘ladi. Masalan,
det A  a₁₁ A₁₁  a₁₂ A₁₂  a₁₃ A₁₃ yoki

^a11 ^a21
^a31
^a12 ^a22
^a32
^a13 ^a23
^a33

 a₁₁

^a22
^a32
^a23
^a33


 a₁₂
^a21
^a31
^a23
^a33

 a₁₃

^a21
^a31
^a22
^a32

Isboti. Tenglikning o‘ng tomonida almashtirishlar bajaramiz:
^a11^(a22^a33 ^{ a}32^a23 ^{)  a}12 ^(a21^a33 ^{ a}31^a23 ^{)  a}13 ^(a21^a32 ^{ a}31^a22 ^{) 
a}11
^a12
^a13

^{ a11a22a13  a12a23a31  a13a21a32  a13a22a31  a}12^a21^a33 ^{ a}11^a23^a32 ^
a21
^a31
^a22
^a32
a₂₃ .
^a33

10. 
    xossa. Determinant biror satri (ustuni) elementlari bilan boshqa satri (ustuni) mos elementlari algebraik to‘ldiruvchilari ko‘paytmalarining yig‘indisi
    

nolga teng bo‘ladi. Masalan,
^a21 ^A11 ^{ a}22 ^A12 ^{ a}23 ^A13 ^{ 0.}

Isboti. Determinantni 9-xossani qo‘llab, topamiz:
^a11


^a12


^a13

^a11 ^A11 ^{ a}12 ^A12 ^{ a}13 ^A13 ^
a21
^a31
^a22
^a32
a₂₃ .
^a33

a₁₁,
a₁₂ ,
a₁₃ mos ravishda
a₂₁,
a₂₂ ,
a₂₃ bilan bilan almashtirilsa, 3-xossaga ko‘ra

determinant nolga teng bo‘ladi.

1-izoh. Determinantning xossalari asosida quyidagi teorema isbotlangan.

1. 
   teorema. Bir xil tartibli A va B kvadrat matritsalar ko‘paytmasining determinanti bu matritsalar determinantlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni
   

det( A  B)  det A  det B.

n -tartibli determinantlarni hisoblash

n - tartibli determinantni xossalar yordamida soddalashtirib, keyin tartibini pasaytirish yoki uchburchak ko‘rinishga keltirish usullaridan biri bilan hisoblash mumkin.

Tartibini pasaytirish usuli

n -tartibli determinant 9-xossaga asosan biror satr yoki ustun bo‘yicha

yoyiysa, yoyilmada
(n  1) -tartibli algebraik to‘ldiruvchilar hosil bo‘ladi,

ya’ni n -tartibli determinantni hisoblash tartibi bittaga past bo‘lgan determinantlarni hisoblashga keltiriladi.

Umuman olganda quyidagi teoremalar o‘rinli bo‘ladi.

2. 
   teorema. i satrining nomeri qanday bo‘lishidan qat’iy nazar n -tartibli determinant uchun bu determinantni i -satr bo‘yicha yoyilmasi deb ataluvchi
   

formula o‘rinli.
det A  a_i1 A_i1  a_{i 2} A_{i 2}  ... a_in A_in ,


i 1,n
(1.2.3)

3. 
   teorema. j ustunining nomeri qanday bo‘lishidan qat’iy nazar n -tartibli determinant uchun bu determinantni j -ustun bo‘yicha yoyilmasi deb ataluvchi
   

formula o‘rinli.
det A  a_{1 j} A_{1 j}  a_{2 j} A_{2 j}  ... a_nj A_nj ,


j 1,n
(1.2.4)

Determinantni biror satr yoki ustun bo‘yicha yoyishga Laplas yoyilmalari usuli deyiladi

Laplas yoyilmalari usulida determinantning qaysi bir satrida (ustunida) nollar ko‘p bo‘lsa, u holda yoyishni shu satr (ustun) bo‘yicha bajarish qulay bo‘ladi. Bundan tashqari 8-xossani qo‘llab, determinantning biror satrida (ustunida) bitta elementdan boshqa elementlarni nollarga keltirish mumkin. Bunda determinantning qiymati shu satrdagi (ustundagi) noldan farqli element bilan uning algebraik to‘ldiruvchisining ko‘paytmasidan iborat bo‘ladi. Shunday qilib,

n -tartibli determinant bitta
2.3-misol.
(n  1) -tartibli determinantga keltirib, hisoblanadi.

2	 1	0	4
4	2	 1	3
 2	0	3	 4
1	1	0	 2

det A 

determinantni tartibini pasaytirish usuli bilan hisoblang.
Yechish. Bunda: 1) Ikkita elementi nolga teng bo‘lgan uchinchi ustunni tanlaymiz va uning ikkinchi satrida joylashgan elementidan boshqa barcha elementlarini nolga aylantiramiz. Buning uchun ikkinchi satr elementlarini 3 ga ko‘paytirib, uchunchi satrning mos elementlariga qo‘shamiz va hosil bo‘lgan determinantni uchinchi ustun elementlari bo‘yicha yoyamiz;
2) Hosil qilingan uchinchi tartibli determinantda birinchi ustunning uchinchi satri elementidan yuqorida joylashgan elementlarini nolga aylantiramiz. Buning

uchun avval uchinchi satrni
(2) ga ko‘paytirib, birinchi satrga qo‘shamiz, keyin

uchinchi satrni
(10) ga ko‘paytirib, ikkinchi satrga qo‘shamiz, hosil bo‘lgan

determinantni birinchi ustun elementlari bo‘yicha yoyamiz va hosil bo‘lgan ikkinchi tartibli determinantni hisoblaymiz:

det A 
0  3 8

 3 8

2

2	 1	0	4		2	 1	0	4
4	2	 1	3		4	2	 1	3
 2	0	3	 4	10		6	0	5
1	1	0	 2	1		1	0	 2

 (1)  (1)^23 10
1
 1 4
6 5 ;
1  2

det A  0
1
 4 25 
1  2 ^{ 4}
 75  32  43.
25