3-машғулот

Boshlang‘ich funksiya tushunchasi

Bizga biror funksiya berilgan bo‘lsa, ma‘lum formula yoki qoidaga ko‘ra bu funksiyaning hosilasini topishni bilamiz.
Masalan, bo‘lsa, ; bo‘lsa, .
Endi bu masalaning teskarisini ya‘ni hosilasiga ko‘ra funksiyaning o‘zini topish masalasini ko‘raylik. Boshqacha aytganda differensiallash amaliga teskari bo‘lgan masalani yechishga to‘g‘ri keladi.
1-ta‘rif. Agar F(x) funksiya (a,b) oraliqda uzluksiz va differensiallanuvchi bo‘lib, nuqtada yoki dF(x)=f(x)dx tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda F(x) funksiyani shu oraliqda f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi deyiladi.
Yuqoridagi misollardan x³ funksiya 3x² ning, sinx esa cosx ning boshlang‘ich funksiyasidir.
Boshlang‘ich funksiyaning ta‘rifiga ko‘ra quyidagi ikkita savol tug‘iladi.

1. 
   Qanday funksiyalarning boshlang‘ich funksiyalari mavjud?
   
2. 
   Agar berilgan funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi mavjud bo‘lsa, u yagona bo‘ladimi?
   

1-teorema: [a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgan funksiyaning shu kesmada boshlang‘ich funksiyasi mavjud bo‘ladi (teoremaning isboti Nyuton-Leybnis formulasida ko‘riladi). Agar funksiya boshlang‘ich funksiyaga ega bo‘lsa, uning boshlang‘ich funksiyasi cheksiz ko‘p bo‘lishini misollar yordamida osongina ko‘rish mumkin:
(С-O‘zgarmas son) funksiyalar funksiyaning boshlang‘ich funksiyalaridir.
2-teorema: Agar F₁(x) va F₂(x) funksiyalar [a,b] kesmada f(x) funksiya uchun boshlangich funksiyalar bo‘lsa, u holda F₁(x),F₂(x) lar bir-biridan o‘zgarmas songa farq qiladi.
ixtiyoriy o‘zgarmas son.
Isboti. deylik.Teoremaning shartiga ko‘ra, bo‘lgani uchun differensiallash qoidasiga ko‘ra,
3-teorema. Agar F(x) funksiya f(x) funksiyaning [a,b] dagi boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa, u holda f(x) funksiyaning shu kesmadagi har qanday boshqa boshlang‘ich funksiyasi F(x)+C ko‘rinishda bo‘ladi.
Isbot. Agar f(x) funksiyaning [a,b] dagi ixtiyoriy boshqa boshlang‘ich funksiyasini F(x) desak2-teoremaning isbotidan kelib chiqadi.

2.