4-mavzu Matritsa rangi. Matritsa rangini hisoblash usullari Reja

4-misol. Quyidagi matritsaning rangini o‘rab turuvchi minorlar usuli bilan toping.

Yechish.
Matritsaning elementi noldan farqli boʻlganligi sababli bu elementni birinchi tartibli minor deb qarab, bu minorni oʻrab turuvchi, noldan farqli 2- tartibli minorni qidiramiz:
1). ; 2). .
Noldan farqli, bu minorni oʻrab turuvchi barcha 3-tartibli minorlarni qarab chiqamiz.
;

Yuqoridagi 1-teoremaga kora barcha 3 –tartibli minorlar nolga teng ( ta ). Demak berilgan matritsaning rangi 2 ga teng.

4-ta’rif. Matritsa ustida bajariladigan quyidagi almashtirishlarga elementar almashtirishlar deyiladi.

1. 
   Matritsa biror satri (ustuni) har bir elementini biror noldan farqli songa koʻpaytirish;
   
2. 
   Matritsa satrlari (ustunlari) oʻrinlari almashtirish;
   
3. 
   Matritsa biror satri (ustuni) elementlariga uning boshqa parallel satri (ustuni) mos elementlarini biror noldan farqli songa koʻpaytirib, soʻngra qoʻshish;
   
4. 
   Barcha elementlari noldan iborat satrni (ustunni) tashlab yuborish;
   
5. 
   Matritsani transponirlash.
   

2-Teorema. Elementar almashtirishlar matritsa rangini oʻzgartirmaydi.
Bu teoremani misolda tushinib olamiz.
4-misol. Elementar almashtirishlar bajaring va hosil boʻlgan matritsaning rangini toping.



Yechish. Matritsada birinchi satrni - ga koʻpaytirib ikkinchi satriga va birinchi satrni -1 ga koʻpaytirib uchinchi satriga ikkinchi satrni ga koʻpaytirib, birinchini ikkinchiga qoʻshsak, soʻngra yana birinchi satrni ga, uchunchi satrni ga koʻpaytirib, natijalarni qoʻshsak,

matritsa hosil boʻladi.
Bu matritsada ikkinchi satrni 1 ga, uchunchi satrni 5 ga koʻpaytirib, ikkinchi satrni uchunchi satrga qoʻshsak,

matritsa hosil boʻladi. Yana

matritsani olib, yuqoridagi singari almashtirishlarni bajarsak,

hosil boʻladi.
va matritsaga qoʻllanilgan almashtirishlarning mohiyati quyidagidan iborat: satrli matritsa berilgan holda birinchi va ikkinchi satrlarni, undan keyin birinchi va uchinchi satrlarni, ..., nihoyat, birinchi va satrlarni shunday sonlarga koʻpaytiramizki, tegishli songa koʻpaytirilgan birinchi satrni navbat bilan boshqa hamma satrlarga qoʻshganimizda ikkinchi satrdan boshlab birinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Soʻngra ikkinchi satr yordamida keyingi hamma satrlar bilan yana shunday almashtirishlarni bajaramizki, uchinchi satrdan boshlab, ikkinchi ustun elementlari nollarga aylanadi. Undan keyin toʻrtinchi satrdan boshlab uchinchi ustun elementlari nollarga aylanadi va hokazo. Shu tariqa bu jarayon oxirigacha davom ettiriladi.
Agar matritsaning qandaydir satrlari boshqa satrlari orqali chiziqli ifodalangan boʻlsa, u holda shu almashtirishlar natijasida, bunday satrlarning hamma elementlari nollarga (ya’ni bunday satrlar nol satrlarga) aylanadi.
Birorta elementi noldan farqli satrni nolmas satr, deb atasak, yuqoridagi almashtirishlardan keyin hosil boʻlgan matritsaning rangi nolmas satrlar soniga teng boʻladi, chunki bunday satrlar chiziqli erkli satrlarni bildiradi.
Yuqorida qoʻllaniladigan almashtirishlar matritsani elementar almashtirishlardan iborat boʻlgani uchun, ular matritsaning rangini oʻzgartirmaydi.