5 bob. Tekislikdagi birinchi va ikkinchi tartibli chiziqlar

5.1.4. To‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi

Koordinatalar boshidan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziqlar uchun ko‘pincha (5.1.3.) tenglamaning maxsus shaklidan foydalaniladi. koordinatalar boshidan o‘tmaydigan to‘g‘ri chiziq bo‘lsin. Koordinatalar boshidan to‘g‘ri chiziqqa tushirilgan perpendikulyarning uzunligi p ga teng deylik, ya’ni , bunda P –perpendikulyarning asosi. ning birlik vektori bo‘lsin. Bu holda deb yozish mumkin. vektor bilan vektor o‘zaro  burchak hosil qilsin (5.1.3-rasm). ni chiziqning normali deyiladi. Agar ixtiyoriy M(x,y) nuqtani olsak, u vaqtda, radius-vektorning koordinatalari (x, y) ,ya’ni

5.1.3-rasmdan bo‘lib, u vektorga ortogonal bo‘lgani uchun ushbuni yoza olamiz:
.
Agar birlik vektor uchun

ekanini e’tiborga olsak, yuqoridagi tenglamadan, bo‘lganligi sababli,
(5.1.6)
tenglamaga ega bo‘lamiz. (5.1.6) to‘g‘ri chiziqning normal tenglamasi deyiladi. Bu yerda, agar to‘g‘ri chiziq koordinatalar boshi orqali o‘tsa p=0 bo‘lib, to‘g‘ri chiziqqa tik bo‘lgan birlik vektor ekanligi ravshandir. Demak, (5.1.6) tenglamada p0 hamda o‘zgaruvchilar koeffitsiyentlari kvadratlarining yig‘indisi birga tengdir. Endi, to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini normal tenglama ko‘rinishiga keltiraylik. Buning uchun A²+B²>0 shart bajarilganda (5.1.3) tenglamaning har ikkala tomonini 0 ga ko‘paytirib,
(A)x+(B)y+C=0
da  ni yuqorida aytilgandek tanlaymiz:
.
Bundan
(5.1.7)
va p=-C0 bo‘lishi uchun  ning ishorasini C ning ishorasiga qarama-qarshi qilib tanlash kifoyadir.  ning topilgan qiymatini oxirgi tenglamaga qo‘yib, uni (5.1.6) ko‘rinishga keltiramiz. (5.1.7) formula bilan aniqlangan  ni normallovchi ko‘paytuvchi deyiladi. Yuqoridagi mulohazalardan to‘g‘ri chiziqning umumiy tenglamasini normal tenglamaga keltirish uchun umumiy tenglamaning ikkala tomonini normallovchi ko‘paytuvchiga ko‘paytirish kifoya degan xulosa kelib chiqadi:
(5.1.8)
Eslatma. Agar to‘g‘ri chiziqning normal tenglamasidagi x va y o‘zgaruvchilarning koeffitsiyentlari to‘g‘ri chiziqqa koordinatalar boshidan tushirilgan (yoki o‘tkazilgan) perpendikulyar birlik vektorining yo‘naltiruvchi kosinuslari ekanligini eslasak, (A;B) bilan (A;B) kollinear ekanligidan to‘g‘ri chiziq umumiy tenglamasidagi koeffitsiyentlaridan tuzilgan (A;B) vektor shu to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar ekanligi kelib chiqadi. Shu sababli, (A;B) ni ham to‘g‘ri chiziqning normali deb yuritiladi.