5 bob. Tekislikdagi birinchi va ikkinchi tartibli chiziqlar

5 - bob. Tekislikdagi birinchi va ikkinchi tartibli chiziqlar

Tekislikda Dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan bo‘lib, bu tekislikning koordinatalari berilgan iki o‘zgaruvchili

tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarining to‘plami qaralsa, u biror chiziqdan iborat bo‘ladi. Bunday holda yuqoridagi tenglamani shu chiziqning tenglamasi deb yuritiladi.
Bu bobda birinchi va ikkinchi tartibli chiziqlarning tenglamalarini keltiramiz.
5.1. To‘g‘ri chiziqning tekislikdagi tenglamalari

Nuqta va to‘g‘ri chiziq planimetriyaning (tekislikdagi geometriyaning) boshlang‘ich tushunchalari bo‘lib, koordinatalar tekisligida nuqta o‘zining koordinatalari deb ataluvchi ikkita sonlarning juftligi bilan aniqlanishini 3-bobda ko‘rdik. Mazkur bandda to‘g‘ri chiziqni ikki o‘zgaruvchili chiziqli tenglama vositasida aniqlash mumkinligini keltiramiz.

5.1.1. To‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi

Tekislikda xOy Dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan bo‘lib, unda Oy o‘qiga parallel (ya’ni Ox o‘qiga tik) bo‘lmagan  to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. U holda  to‘g‘ri chiziq Oy o‘qni biror (0; b) nuqtada kesib o‘tishi ravshandir. Bunda b ni  to‘g‘ri chiziqning Oy o‘qdan ajratgan kesmasi deb yuritiladi. Endi  to‘g‘ri chiziqning Ox o‘qi musbat yo‘nalishi bilan hosil qiluvchi va [0; ) ga tegishli burchagini  bilan belgilaylik. Qaralayotgan hol uchun bo‘lib, bu burchak tangensining mavjudligini e’tiborga olgan holda tg=k deb belgilaymiz va bu sonni  to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyenti deb ataymiz. Albatta, to‘g‘ri chiziq uchun b va k sonlar berilgan bo‘lsa, uni koordinatalar tekisligida qurish mumkin.

Endi, =0 (ya’ni k=0) bo‘lgan holni qarasak, to‘g‘ri chiziq (0; b) nuqta orqali Ox o‘qiga parallel bo‘lib o‘tishi va uning ixtiyoriy nuqtasining ordinatasi b ga tengligi ravshandir. Demak, bunday Ox o‘qiga parallel to‘g‘ri chiziq tenglamasini
y = b
ko‘rinishda yozish mumkin ekan.
To‘g‘ri chiziq Ox o‘qiga ham, Oy o‘qiga ham parallel bo‘lmasin, ya’ni . , ya’ni o‘tkir burchak bo‘lgan holni qarasak, M(x;y) to‘g‘ri chiziqning (0; b) dan farqli nuqtasi bo‘lganda, 5.1.1-rasmdan ko‘rinadiki,

kelib chiqadi. Bundan, x0 deb faraz qilib,
y = kx + b (5.1.1)
tenglamaga kelamiz. Agar bu tenglamada x=0 desak, y=b ni, ya’ni (0; b) nuqtani olamiz. Demak, (5.1.1) tenglama  to‘g‘ri chiziqning barcha nuqtalari uchun o‘rinli bo‘lar ekan (xR). Uni to‘g‘ri chiziqning burchak koeffitsiyentli tenglamasi deb ataladi.


M(x;y)

5.1.1-rasm.

Agar (5.1.1) da k=0 (=0) deyilsa, y=b bo‘lib, Ox o‘qqa parallel to‘g‘ri chiziq tenglamasiga ega bo‘lamiz.

Olingan (5.1.1) tenglama - ya’ni o‘tmas burchak bo‘lgan hol uchun ham to‘g‘ri ekanligiga ishonch hosil qilish qiyin emas.
Endi, = (to‘g‘ri chiziq Ox o‘qqa tik) bo‘gan holni qaraylik. Bu hol uchun burchak koeffitsiyent k mavjud emasligi ravshandir. Ammo, bunday to‘g‘ri chiziq Ox o‘qidan biror a kesma ajratadi va unda yotgan barcha nuqtalarning abssissasi shu a songa teng, ya’ni
x = a (5.1.2)
bo‘ladi. Bu Ox o‘qqa tik (ya’ni Oy o‘qqa parallel) to‘g‘ri chiziq tenglamasidir. Demak, Ox o‘qqa tik to‘g‘ri chiziq tenglamasini burchak koeffitsiyentli ko‘rinishda ifodalab bo‘lmas ekan.