5 bob. Tekislikdagi birinchi va ikkinchi tartibli chiziqlar

5.1.5. To‘g‘ri chiziqlar dastasi


Tekislikning berilgan nuqtasidan o‘tuvchi barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami to‘g‘ri chiziqlar dastasi, berilgan nuqta esa uning markazi deyiladi.
Agar to‘g‘ri chiziqlar dastasining markazi dan iborat bo‘lsa (5.1.4-rasm), uning tenglamasini
(5.1.9)
ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda deb faraz qilinadi.
Haqiqatdan ham, agar dastaga tegishli to‘g‘ri chiziq nuqta orqali o‘tishini hisobga olsak, bo‘lib, (5.1.9) tenglamani olamiz.
Agar (5.1.9) da deb faraz qilinsa, dasta tenglamasini

ko‘rinishga keltirish mumkinligi ravshandir. Oxirgi tenglama vositasida yozilgan dastada to‘g‘ri chiziqning etishmasligini aytamiz.
Agar nuqtadan berilgan k yo‘nalish bo‘yicha o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzish talab qilingan bo‘lsa, yuqoridagi tenglamani yozish kifoyadir.



5.1.6. Berilgan ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasi

Agar nuqtalar berilgan bo‘lib, ular orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasini tuzish talab qilingan bo‘lsa, ular ustma-ust tushmagan holda bu masala yagona yechimga egadir (5.1.5-rasm).

bo‘lgan holda talab qilingan tenglama , bo‘lganda esa bo‘lishi ravshandir. Endi, va bo‘lgan holni qarasak, markazi nuqtada bo‘lgan

dasta to‘g‘ri chiziqlaridan orqali o‘tuvchisini ajratsak,

ni olamiz. Buni yuqoridagi tenglamaga qo‘yib, oddiy shakl o‘zgartirish bajarish natijasida

ga ega bo‘lamiz. Bu ikki nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tenglamasidir.


5.1.7. Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak

va to‘g‘ri chiziqlar mos ravishda quyidagi tenglamalar bilan berilgan bo‘lsin:

( ):A₁x+B₁y+C₁=0 va ( ): A₂x+B₂y+C₂=0
U vaqtda, ₁={A₁, B₁} ga, ₂={A₂, B₂} esa ga normal vektor bo‘ladi.
Agar ₁ va ₂ o‘zaro kollinear bo‘lmasa, ₁ va ₂ orasidagi  burchak va to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro tashkil qilgan burchaklardan biriga teng bo‘ladi. Agar va to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘lsa, ular orasidagi burchak nolga teng deb qabul qilinadi. Endi, umumiy holda  to‘g‘ri chiziqlar orasidagi burchak bo‘lsa, uni topish uchun ₁ va ₂ larning skalyar ko‘paytmasidan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz:
(5.1.10)
Agar B₁0, B₂0 bo‘lsa, olingan (5.1.10) formulani

ko‘rinishga keltirib, to‘g‘ri chiziqlar burchak koeffitsiyentlari uchun

ifodalardan foydalansak,

ni olamiz. Sodda hisoblashlar yordamida quyidagi

formulani hosil qilish mumkin.
Endi, ikki to‘g‘ri chiziqning perpendikulyarlik va parallellik shartlarini ko‘raylik. Agar A₁x+B₁y+C₁=0 va A₂x+B₂y+C₂=0 lar berilgan ikki to‘g‘ri chiziqning tenglamalari bo‘lib, ular perpendikulyar bo‘lsa, ₁={A₁;B₁}, ₂={A₂;B₂} normalarning ortogonalligidan
A₁A₂+B₁B₂=0 (5.1.11)
yoki (B₁0, B₂0 deb faraz qilib) burchak koeffitsiyentlar orqali