Ta’rif.f ning hosilasi. Quyidagi formula , (3)
bilan aniqlangan funksiya f dan x bo‘yicha olingan hasila deyiladi. Bu ning aniqlanish sohasi, limit mavjud bo‘ladigan x lardan iborat bo‘ladi. Izox. Ta’rifda w belgi qatnashishiga qaramasdan, (3) formula ni x ning bir o‘zgaruvchili funksiyasi sifatida aniqlaydi. Bu qiymatning aniq bir x nuqtadadagisini topmoqchi bo‘lsak, x o‘zgaruvchini tayinlab qo‘yamiz va deb olib, (3) da limitga o‘tamiz. Limitning javobida belgi qatnashmaydi; belgi limitni hisoblash jarayonida yo‘q bo‘lib ketadi.
Avvalgi bo‘limlarda aytilganlarni hisobga olib, hosilaning turli ma’nodagi talqinlarini keltirish mumkin.
1- misol. Ushbu funksiyaning x bo‘yicha hosilasini toping. f va larning grafiklarini bitta koordinatalar sistemasida chizing va bu ikki grafik orasidagi bog‘lanishlarni muxokama qiling.
Yechish. Kelgusida hosila hisoblashning ancha qulay usullarini beramiz, ammo, hozir ta’rifdagi (3) formula bilan ni topamiz.
=
Bu ikki ifodalarning grafiklari 3 rasmda ko‘rsatilgan.
3-rasm. funksiya va uning hosilasi ning grafiklari.
Hosilaning belgilanishi. Biz orqali f funksiya hosilasini belgiladik. Hosilani quyidagicha ham belgilashadi: va « dan x bo‘yicha hosila» deb o‘qiladi. Bunday belgilashning xususiyati shundaki, qaysi o‘zgaruvchi bo‘yichp hosila olinayotgani ko‘rsatiladi. Demak,
.
Masalan,
va
.
Agar hosila tayin bir nuqtada olingan bo‘lsa, bu holda hosila qiymati quyidagicha yoziladi:
.
Masalan,
va
.
Agar x va y lardan boshqa xarflar ishlatilsa, bog‘liq va bog‘liqsiz o‘zgaruvchilarga mis ravishda hosila belgisi yoziladi. Masalan, agar bo‘lsa, u holda hosila u bo‘yicha olinadi va
=
kabi yoziladi. Xususan, agar
bo‘lsa, u holda u bo‘yicha hosila quyidagicha bo‘ladi:
