Аникмас интеграл

Teorema: Agar F₁(x) va F₂ (x) funksiyalar f (x) funksiyani [a, b] kesmadagi boshlang’ich funksiyalari bo’lsa, ular orasidagi ayirma o’zgarmas songa teng bo’ladi.
Isboti. Boshlang’ich funksiyaning ta`rifiga ko’ra x ning [a, b] kesmadagi har qanday qiymatida
(1)
tengliklarga ega bo’lamiz.


F₁(x) - F₂ (x)= (x) (2)

deb belgilaymiz. (1) tengliklarga asosan x ning [a, b] kesmadagi har qanday qiymatida

yoki

lekin ¹ (x)=0 tenglikdan  (x) ning o’zgarmas son ekani kelib chiqadi.

x_ ning [a, b] kesmadagi har qanday qiymati uchun Lagranj teoremasiga ko’ra ga ega bo’lamiz.
(a<) da bo’lgani uchun,
 (x)- (a)=0 yoki  (x)=  (a) (3)

Shunday qilib, [a, b] kesmaning har qanday x nuqtasida  (x) funksiya  (a) qiymatini saqlaydi, bu esa  (x) funksiya [a, b] kesmada o’zgarmas son degan so’zdir.  (a) o’zgarmas sonni C bilan belgilab (2) va (3) tengliklardan quyidagini hosil qilamiz

F₁(x) - F₂(x)=C
Teorema isbotlandi.
Natija. Agar berilgan f(x) funksiya uchun qanday bo’lmasin biror F(x)- boshlang’ich funksiya topilgan bo’lsa, f(x) funksiya uchun har qanday boshqa boshlang’ich funksiya F(x)+C ko’rinishga ega bo’ladi.
2-Ta`rif. Agar F(x) funksiya f(x) funksiya uchun boshlang’ich bo’lsa, F(x)+C ifoda f(x) funksiyadan olingan aniqmas integral deb ataladi va simvol bilan belgilanadi.
Demak, ta`rifga ko’ra bo’lsa,
= F(x)+C bo’ladi,
bu yerda
f (x) funksiya- integral ostidagi funksiya
f (x)dx - integral ostidagi ifoda
ishora - integral ishorasi deyiladi.
Shunday qilib, aniqmas integral y=F(x)+C funksiyalar to’plamidan iborat ekan.
Geometrik nuqtai nazaridan qaraganda aniqmas integral egri chiziqlar to’plamidan (oilasidan) iborat bo’lib, ularning har biri egri chiziqlardan bittasini o’z-o’ziga parallel holda OY o’q bo’ylab siljitish yo’li bilan hosil qilinadi.
Agar f(x) funksiya [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsa, bu funksiya uchun boshlang’ich funksiya (aniqmas integral) mavjud bo’ladi.
1. Aniqmas integralning hosilasi integral ostidagi funksiyaga teng, ya`ni bo’lsa, u holda
(4)

2. 
   Aniqmas integralning differensiali integral ostidagi ifodaga teng:
   

(5)

2. 
   Biror funksiya differensialining aniqmas integrali shu funksiya bilan ixtiyoriy o’zgarmas sonning yig’indisiga teng;
   

Asosiy formulalar jadvali.

Masalan

Aniqmas integralning xossalari

1-Teorema. Bir necha funksiyalar algebraik yig’indisining aniqmas integrali, shu funksiyalar aniqmas integrallarining algebraik yig’indisiga teng

(1)

ikkita funksiya uchun isbotlaymiz: