Аникмас интеграл

Teorema. Har qanday ratsional kasrni I, II, III, IV turdagi oddiy kasrlarning yig’indisi ko’rinishida ifodalash mumkin. Bunda
a) (1) yoyilmaning (x-) ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga I turdagi bitta kasr mos keladi.

b) (1) yoyilmaning (x-)^K ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga I va II turdagi K ta kasr mos keladi.

v) (1) yoyilmasining (x²+px+q) ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga III turdagi kasr mos keladi.

g) (1) yoyilmaning (x²+px+q)^S ko’rinishdagi ko’paytuvchisiga III va IV turdagi S ta kasr mos keladi.

1-Misol .

2-Misol .
3-Misol.
4-Misol.
Eng sodda ratsional kasrlarni integrallash
I va II turdagi oddiy kasrlarni integrallash jadval integrallariga keltiriladi.



III. Turdagi integrallarni ko’rib chiqamiz:

Suratda kasrning maxrajidan olingan hosilani ajratamiz.


(x²+px+q)¹ =2x+p

Integrallardan birinchisi ln|x²+px+q| ga teng. Ikkinchi integralni hisoblash uchun maxrajida to’liq kvadratni ajratamiz.

x²+px+qq
Bunda , chunki shartga ko’ra
Demak, ikkinchi integral jadval integraliga keladi. Shunday qilib,

1-Misol . Integralni hisoblang.

Yechish: suratda maxrajining hosilasini ajratamiz.


(x²+4x+8)¹=2x+4

Birinchi integral ln|x²+4x+8| ga teng. Ikkinchi integralning maxrajida to’liq kvadrat ajratamiz.

(x²+4x+8)=(x+2)²-4+8=(x+2)²+2²
Natijada quyidagini hosil qilamiz.

2-Misol. Integralni hisoblang.

Yechish: A=0 bo’lgani uchun maxrajida to’liq kvadratni ajratishdan boshlaymiz.

Bundan

Endi IV turdagi integralni hisoblaymiz.

Bunda ham x²+px+q uchxadning hosilasini ajratishdan boshlaymiz.
Birinchi integralni hisoblasak bo’ladi:

Ikkinchi integralni hisoblaymiz:

belgilashlarni kiritamiz. deb olamiz.

Oxirgi integralga bo’laklab integrallash formulasini qo’llaymiz:

Agar deb belgilasak, quyidagini hosil qilamiz.

1)

Bu jarayon quyidagi integralni hosil qilgunimizcha davom etadi.

1. 
   formula rekurent (qaytuvchan) formula deyiladi.
   

3-Misol. Integralni hisoblang

Yechish: uchxaddan to’liq kvadrat ajratamiz.

Natijada quyidagi integralni hosil qilamiz.

belgilaymiz. almashtirishni bajaramiz.
deb belgilaymiz.
(1) formula orqali quyidagilarni topamiz.
x o’zgaruvchiga qaytsak
hosil bo’ladi.
Misollar :