Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

3.2. Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi.

Qutb koordinatalar sistemasida egri chiziqning tenglamasi

(7)

Bo’lsin. Qutb koordinatalaridan Dekart koordinatalariga o’tish formulasi: yoki (7) dan foydalansak:

Bu tenglamalarga egri chiziqning parametric tenglamalari deb qarab, yoy uzunligini hisoblash uchun (4) formulani tatbiq qilamiz.

U holda:

Demak,

(8)

Misollar.

1. 
   x²+u²=r² aylana uzunligi hisoblansin.
   

Yechish. Dastlab aylananing 1-kvad rantda yotgan to’trdan bir qismining uzunligini hisoblaymiz. U holda AB yoyning

Butun aylananing uzunligi:

2) kardioidaning uzunligi topilsin. Kardioida qutb o’qiga nisbatan simmaetrikdir. qutb burchagini 0 dan gacha o’zgartirib, izlanayotgan uzunlikning yarmini topamiz. (5-rasm)

(8) formuladan foydalanamiz, bunda

3) elllipsning uzunligi hisoblansib, bunda a>b

Yechish. (4) formuladan foydalanamiz. Avval yoy uzunligining ¼ qismini hisoblaymiz.

bunda

Demak,