Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

7. Inersiya momentini aniq integral yordami bilan hisoblsh

XOY tekislikda massalari bo’lgan moddiy nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsin. Mexanikadan ma’lumki, moddiy nuqtalar sistemasining O nuqtada nisbatan inersiya momenti:

(12)

bunda

Faraz qilamiz, egri chiziq moddiy chiziqdan iborat bo’lib, u tenglama bilan berilgan bo’lsin va [a, b] kesmada uzluksiz funksiya bo’lsin, Egri chiziqning chiziqli zichligi gat eng bo’lsin. Bu chiziqni uzunliklari bo’lgan n ta bo’laklarga bo’lamiz, bunda ularning massalari bo’lsin. Yoyning har bir qismida absissasi va ordinatasi bo’lgan nuqtalar olamiz. Yoyning 0 nuqtaga nisbatan inersiya momenti:

(13)

Agar funksiya va uning hosilasi uzluksiz bo’lsa, u holda da (13) yig’indi limitga ega va bu limit moddiy chiziqning inersiya momentini ifodalaydi:

(14)

1. Uzunligi l bo’lgan ingichka bir jinsli tayoqchaning (sterjenning) oxirgi uchiga nisbatan inersiya momenti.

Tayoqchani OX o’q kesmasi bilan ustma-ust joylashtiramiz.

0 x x

8-rasm
Bu holda

(14) formula qo’yidagi ko’rinishni oladi:

(15)

Agar tayoqchaning massasi M berilgan bo’lsa, u holda va (15) formula qo’yidagi ko’rinishda bo’ladi:

(16)

2. Radiusi r bo’lgan aylananing markaziga nisbatan inersiya momenti.

Aylananing barcha nuqtalari uning markazidan bir xil masofada bo’lgan va massasi bo’lgani uchun, aylananing inersiya momenti qo’yidagicha bo’ladi:

(17)

3. Radiusi R bo’lgan bir jinsli doiraning markaziga nisbatan inersiya momenti.
Doirani n halqalarga ajratamiz. S-doira yuzi birligining massasi bo’lsin. Bitta halqani olib qaraymiz.

y

R x
9-rasm

Bu halqaning ichki radiusi r_i tashqi radiusi bo’lsin. Bu halqaning massasi ga teng bo’ladi. Bu massaning markazga nisbatan inersiya momenti (17) formulaga muvofiq taqriban qo’yidagiga teng bo’ladi:

Butun doiraning inersiya momenti:

da limitga o’tib, doira yuzining markazga nisbatan inersiya momentini hosil qilamiz:

Agar doiraning massasi M berilgan bo’lsa, u holda sirt zichligi qo’yidagiga teng bo’ladi: Bu qiymatni (18) ga qo’ysak:

(19)

Aniq integralning tadbiqi