Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

3. Egri chiziq yoyining uzunligi.
3.1. Dekart koordinatalar sistemasida egri chiziq yoyining uzunligi hisoblash.
Tekislikda to’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida egri chiziq tenglama bilan berilgan bo’lsin.

Bu egri chiziqning x=a va x=b vertical to’g’ri chiziqlar orasidagi AV yoyining uzunligini topamiz (6-rasm)
y

B

M₁

A

0 a x₁ x₂ x_i-1 x_i b x
6-rasm

AB yoyda abstsissalari bo’lgan A, M₁, M₂,…,M_i,…B nuqtalarni olamiz va AM_1, M₁M₂,…M_n-1 B vatarlarni o’tkazamiz, ularning uzunliklarini mos ravishda bilan belgilaymiz.

AB yoy ichiga chizilgan aniq chiziqning uzunligi

bo’lgani uchun AB yoyning uzunligi

(1)

bo’ladi.

Faraz qilaylik, funksiya va uning hosilasi [a, b] kesmada uzluksiz bo’lsin.

U holda

Yoki Lagranj teoremasiga asosan

bunda

bo’lgani uchun

bo’ladi

Ichki chizilgan siniq chiziqning uzunligi esa

bo’ladi

Shartga ko’ra funksiya uzluksiz. Demak, funksiya ham uzluksizdir. Shuning uchun integral yig’indining limiti mavjud va u qo’yidagi aniq integralga teng.

Demak, yoy uzunligini hisoblash formulasi:

(2)

ekan.

Endi egri chiziq tenglamasi

(3)

Parametric ko’rinishda berilgan bo’lsin, bunda uzluksiz hosilali uzluksiz funksiyalar va berilgan oraliqda nolga aylanmaydi.

Bu holda (3) tenglama biror funksiyani aniqlaydi.

Bu funksiya uzluksiz bo’lib uzluksiz hosilaga ega, bo’lsin (6) integralda almashtirish bajaramiz. U holda

(4)

Agar egri chiziq fazoda

(5)

Parametric tenglamalar bilan berilgan va funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz hamda uzluksiz hosilalarga ega bo’lsa, egri chiziq aniq limitlarga ega bo’ladi va u

(6)

Formula bilan aniqlanadi.