Aniq integralning geometriyaga tadbiqi

6. Aniq integralni mexanikaga tatbiqi. Jismni aniq integral yordamida hisoblash.
Biror F kuch ta’siri ostida M moddiy nuqta OS to’g’ri chiziq bo’yicha harakat qilsin, bunda kuchning yo’nalishi harakat yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin. M nuqta S=a holatdan S=b holatga ko’chganda F kuchning bajargan ishni topilsin.

1) Agar F kuch o’zgarmas bo’lsa, u holda A ish F kuch bilan o’tilgan yo’l uzunligi ko’paytmasi bilan ifodalanadi:

A=F(b-a)

2) F kuch moddiy nuqtaning olgan o’rniga qarab uzluksiz o’zgaradi, ya’ni [a, b] kesmani uzunliklari

bo’lgan n ta ixtiyoriy bo’lakka bo’lamiz. Har bir [S_i-1, S_i] qismiy kesmada ixtiyoriy nuqta tanlab olib, F(S) kuchning yo’lda bajargan ishini ko’paytma bilan almashtiramiz. Oxirgi ifoda yetarlicha kichik bo’lganda F kuchning yo’lda bajargan ishning taqribiy qiymatini beradi.

Yig’indi F kuchning [a, b] kesmada bajargan ishning taqribiy ifodasi bo’ladi. Bu yig’indining dagi limiti F(S) kuchning S=a nuqtadan S=b nuqtagacha bo’lgan yo’lda bajargan ishini ifodalaydi:

(11)

Misol. Agar prujina 1 N kuch ostida 1 sm cho’zilishi ma’lum bo’lsa, uni 4 sm cho’zish uchun qancha ish bajarish kerak?

Yechish. Guk qonuniga ko’ra prujinani x m ga cho’zuvchi kuch F=kx;

Agar x=0,01 m va F=1 N ekanligini hisobga olsak, u holda k=F/x=1/0,01=100 kelib chiqadi.

Demak, F=100x. Bajarilgan ish ekanligini hisobgan olsak

(j)