Astanova charos normurodovnaning

x426 123 1278 + 852 126 22398
Natijani hosil qilish uchun 426 sonini 3 ga, 2 ga, 1 ga ya'ni ko'p xonali sonni bir xonali songa ko’paytirdik, ammo 2 ga ko’paytirganda natijani boshqacha yozdik, ya'ni 852 sonining birlarini 1278 sonining o'nlari tagiga yozdik, sababi , biz aslida 2ta o'nlikka ko’paytirdik, 3- qo'shiluvchi 426 ni esa bitta yuzlikka ko’paytirishning natijasidar. Undan tashqari biz ko’p xonali sonlar yig’indisini ham topdik. Shunday qilib, ko’p xonali sonni ko’p xonali songa ko’paytirish uchun : ko’p xonali sonni bir xonali songa ko’paytirishni; ko’p xonali sonni 10 ning darajasiga ko’paytirishni; ko’p xonali sonlarni qo’shishni bilish kerak .
Ko’p xonali sonlarni o’rganganimiz uchun ko’p xonali sonni bir xonali songa va o’nning darajasiga ko’paytirishning nazariy asoslari nimadan iboratligini aniqlaymiz.
426 ni 3 ga ko’paytirish jarayonini ko’rib chiqamiz. O’nli sanoq sistemasida sonlarni yozish qoidasiga ko’ra 426 sonini
33
bunday ko’rinishda yozish mumkin. 4*102 +2*10+6, u holda 426*3=(4*102 +2*10+6)*3
qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonuniga asosan oxirgi yozuvida qavslarni ochib, o’zgartirib yozamiz:
(4* 102)*3+(2* 10)*3+6*3
Ko’paytirishning o’rin almashtirish va guruhlash qonunlari bu yigindidagi qo’shiluvchilarni bunday yozishga imkon beradi.
(4*3)* 102+(2*3)* 10+6*3
Qavs ichidagi ko’paytmalar bir xonali sonlarni ko’paytirish jadvalidan topiladi:
12*102+6*110+18
Ko’rib turibmizki, ko’p xonali sonni bir xonali songa ko’paytirish bir xonali sonlarni ko’paytirishga keltirildi.
Ammo hosil bo’lgan ifoda sonning o’nli yozuvi emas-10 ning darajalari oldidagi koeffitsentlar 10 dan kichik bo’lishi kerak. Shuning uchun 12 ni 10+2 ko’rinishda ,18 ni 10+8 ko’rinishida yozamiz:
(10+2)* 102+6* 10+(10+8)
qavslarni ochamiz: 103+2*102+6* 10+10+8
qo’shishning guruhlash qonuni va qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonunidan foydalanamiz: 1 * 103+2* 102+(6+1)* 10+8; 6+1 yigindi bir xonali sonlar
yigindisidir va uni qo’shish jadvalidan osongina topiladi: 1 * 103+2* 102+7* 10+8
Hosil bo’lgan ifoda 1278 sonining unli yozuvidir. Shunday qilib, 426 3=1278
Umuman, X=an an-1...a1ac sonni bir xonali son n ga
ko’paytirish algoritmini bunday ifodalash mumkin:
1. Ikkinchi sonni birinchi sonning ostiga yozamiz.
34
2. Birlar xonasidagi raqamlarni “y” soniga ko’paytiramiz. Agar ko’paytma 10 dan kichik bo’lsa, uni javobidagi birlar xonasiga yozamiz va keyin o’nlar xonasiga o’tamiz
3. Agar birlar xonasidagi raqamlarning “y” soniga ko’paytmasi 10 dan katta yoki 10 ga teng bo’lsa, uni 10-qi+Co ko’rinishda yozamiz, bunda Co - bir xonali son: Co ni javobdagi birlar xonasiga yozamiz va qi ni keyingi xonaga o’tkazishni esda saqlaymiz
4.O’nlar xonasidagi raqamni Y soniga ko’paytiramiz, chiqqan ko’paytmaga q1 ni qo’shamiz va 2- hamda 3- punktlardagi jarayonni takrorlaymiz.
5.Yuqori xona raqamlari ko’paytirilgandan keyin ko’paytirish jarayoni tugallanadi.
Ma’lumki, x sonni 10K ko’rinishdagi songa ko’paytirish berilgan sonning o’nli yozuviga o’ng tomondan k ta nolni qo’shib yozishga keltiriladi. Haqiqatan, agar
x =an*10n+ an-1*10n-1+.....a1*10+a0 bo’lsa , u holda
x*10k =(an*10n+an-1*10n-1+.....a1*10+a0)*10k
qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taksimot qonunini va ko’paytirishning boshqa qonunlarini qo’llab, an*10n+k+an-1*10n+k-1+...+a1*10k+1+a0*10k ni hosil qilamiz. Bu ifoda
anan-1.. .a1a0 0.. .0 sonning o’nli yozuvidir.
Masalan,
53 4 1 03=(5 1 02+3 1 0+4) 103=5 1 05+3 1 04+4 1 03=53 4 0 00
Endi ko’p xonali sonni ko’p xonali songa ko’paytirish algoritmini qaraymiz. Yuqorida qaralgan misolga, ya’ni 426 123 ko’paytmaga qaytamiz. 123 sonini koeffitsentli o’nning darajalari yigindisi ko’rinishida yozamiz: 123=1 *102+2* 10+3 va 426*(1*102+2*10+3) ko’paytmani yozamiz. Bu ko’paytma qo’shishga nisbatan ko’paytirishning taqsimot qonuniniga ko’ra 426*(1*102)+426*(2*10)+426*3 ga
35
teng. Bundan ko’paytirishning guruhlash qonuniga asosan: (426* 1 )• 102+(426*2)* 10+426*3
Shunday qilib, ko’p xonali sonni ko’p xonali songa ko’paytirish ko’p xonali sonni bir xonali songa ko’paytirishga keltirildi...
Umuman, x=anan-i...aiao sonni y=bkbk-i...bibo songa ko’paytirish algoritmini bunday ifodalash mumkin.
1. x ko’paytuvchini yozamiz va uning ostiga ikkinchi ko’paytuvchi y ni yozamiz.
2. x sonni y sonning kichik xonasi b0 ga ko’paytiramiz va x b0 ko’paytmani y sonning ostiga yozamiz.
3. x sonni y sonning keyingi xonasi b1 ga ko’paytiramiz va x b1 ko’paytmani bir xona chapga surib yozamiz. Bu x b1 ni 10 ga ko’paytirishga mos keladi.
4. Bu jarayonni x bk hisoblaguncha davom ettiramiz.
5. Topilgan k+1 ta ko’paytmani qo’shamiz.
Boshlang’ich matematika kursida ko’paytirishni o’rganish bir necha bosqichda olib boriladi, unga bir xonali sonlarni ko’paytirish jadvali, nol bilan tugaydigan ikki xonali sonlarni ko’paytirish; ko’p xonali sonlarni bir xonali, ikki xonali va uch xonali sonlarga ko’paytirish kiradi.
“Ustun” qilib ko’paytirish algoritmini o’rganish uch xonali sonni bir xonali songa ko’paytirishdan boshlanadi. Undan oldin quyidagi ko’paytma tushuntiriladi:
426*3=(400+20+6)*3=400*3+20*3+6*3=1200+60+18=1278
Bular uch xonali sonni bir xonali songa ko’paytirish:
-sonni o’nli sanoq sistemasida yozishga;
- qo’shishga nisbatan ko’paytirishni taqsimot qonuniga;
- yaxlit sonlarni bir xonali songa ko’paytirish, ya’ni bir xonali sonlarini ko’paytirish jadvaliga;
- ko’p xonali sonlarni qo’shishga asoslanishni ko’rsatadi.
So’ngra misollar orqali ko’p xonali sonni ko’p xonali songa ko’paytirish ko’p xonali sonni bir xonali songa ko’paytirish va
36
ko’p xonali sonlarni qo’shishga keltiriladi. Misol: 46*38=46*(30+8)=46*30+46*8
O’nli sanoq sistemasida ko’p xonali sonlarni bo’lish.
Sonlarni bo’lish texnikasi haqida so’z borar ekan, bu jarayonni qoldiqli bo’lish amali kabi qaraladi. Ta’rifni eslaylik: butun nomanfiy a sonni b natural songa qoldiqli bo’lish deb a= Bq+r va 0Bir xonali va ikki xonali (89 dan katta bo’lmagan) sonlarni bir xonali songa bo’lganda bir xonali sonlarni ko’paytirish jadvalidan foydalaniladi.
Masalan, 54 ni 9ga bo’lish kerak bo’lsin.9- ustunda (9-satrda ) 54 sonini topamiz. U 6- satrda joylashgan. Demak 54:9=6
Endi 51 ni 9 ga bo’lamiz. 9- ustunda 51 soni yuq. Shuning uchun bu ustunda 51 dan kichik eng yaqin 45 sonini olamiz.45 soni 5- satrda bo’lgani uchun to’liqsiz bo’linma 5 ga teng . Qoldiqni topish uchun 51 dan 45 ni ayiramiz: 51-45=6. Shunday qilib, 51=9*5+6 yoki maktab simvolikasi bilan yozsak:51:9=5(qol.6)
Endi ko’p xonali sonni bir xonali songa bo’lish qanday amalga oshirilishini aniqlaymiz. 238 ni 4 ga bo’lish kerak bo’lsin.Bu degani shunday to’liqsiz bo’linma q va r qoldiqni topish kerakki , ular uchun 238=4 q+r, 0Shuni aytish kerakki, 238 va 4 sonlarining to’liqsiz bo’linmasi q ga bo’lgan talabini quyidagicha yozish mumkin: 4q<238<4 (q+1)
Avval q sonining yozuvda nechta raqam bo’lishini aniqlaymiz.
q bir xonali son bo’lmaydi, chunki 4 sonining bir xonali songa ko’paytmasi plyus qoldiq 238 ga teng emas. Agar q soni 2 xonali bo’lsa ya’ni agar 1037
soni 40 va 400 sonlari orasida bo’ladi, bu esa to’g’ri. Demak, 238 va 4 sonlarining bo’linmasi 2 xonali son.
Bo’linmaning 10lar raqamini topish uchun 4 ni ketma-ket 20ga, 30ga, 40ga va hokazoga ko’paytiramiz. 4 50=200, 4 60=240 va 200<238<240 bo’lgani uchun to’liqsiz bo’linma 50 va 60 sonlari orasida bo’ladi, ya’ni q=50+qo u holda 238 soni haqida bunday deyish mumkin:
4*(50+qo) < 23 8<4*(50+q0+1),
bundan 200+4q0 < 238<200+4(q0+1) va berilgan tengsizlikni qanoatlantiruvchi q0 sonini ( bo’linmaning birlar raqamini) ko’paytirish jadvalidan foydalanib topish mumkin. q0=9 hosil bo’ladi va demak, to’liqsiz bo’linma q=50+9=59. Qoldiq ayirish bilan topiladi: 238-4 59=2
Shunday qilib, 238 ni 4ga bo’lganda to’liqsiz bo’linma 59 va 2 qoldiq hosil bo’ladi. 238=4 59+2 Bo’lishning ifodalangan bujarayoni burchak qilib bo’lish asosida yotadi.
238 4 20 \ 59 38 36 2
Ko’p xonali sonni ko’p xonali songa bo’lish ham xudda shunday bajaraladi. Masalan, 5658 ni 46ga bo’laylik. Bu bo’lishni bajarish shunday butun nomanfiy q va r sonlarni topish demakki, uning uchun 5658=46q+r,0 < r<46 bajarilsin. Bundan 46*q<5658<46(q+1). q bo’linmadagi raqamlar
sonini aniqlaymiz. Shubhasiz, q bo’linma 100 va 1000 sonlari orasida yotadi(u uch xonali) chunki 4600<5658<46000.
Bo’linmaning yo’zlar raqamini topish uchun bo’linuvchi 46ni ketma-ket 100ga, 200ga 300ga va hokazo
ko’paytiramiz. 46100=4600, 46 200=9200 va
4600<5658<9200 , bo’lgani uchun to’liqsiz bo’linma 100 va 200 sonlari orasida yotadi, ya’ni q=100+qi , bu erda qi-ikki
38
xonali son. U holda quyidagi tengsizlik o’rinli bo’ladi. 46(100+qi) < 5658<46*(100+qi+1) qavslarni ochib va 4600 sonini ayirib, ushbu tengsizlikka kelamiz:
46q1 < 1058<46(q1+1) q1 soni ikki xonali. Shuning uchun
bo’linmadagi o’nlar raqamini topish uchun bo’linuvchi 46 ni ketma-ket 10ga, 20ga, 30ga va hokazo ko’paytirimiz. 46 20=920, 46 30=1380 va 920<1058<1380 ,bo’lgani uchun 20mumkin. U holda 1058 soni haqida quyidagilarni aytish mumkin.
46*(20+q0) < 1058<46*(20+q0+1), ya’ni
46*20+46q0 < 1058<46*20+46(q0+1), 46q0 < 138<46(q0+1)
Oxirgi tengsizlikni qanoatlantiruvchi q0 sonini 46 ni ketma-ket birga, 2ga, 3ga, 4ga, 5ga... ko’paytirib, tanlab topamiz. 46 3=138 ni ya’ni qoldiq nolga teng bo’lgan holni topamiz. Demak, 5658:46=123.
Bu mulohazalar burchak qilib bo’lish asosida yotadi...