Azərbaycan Dövlət Aqrar Universiteti. Kafedra: Fizika və riyaziyyat Fakültə: Mühəndislik Fənn: Riyazi analiz (30-60 saat)

Teorem 8. Əgər iki də­fə dife­ren­siallanan funk­si­ya­nın birinci tər­tib törə­mə­si hər hansı nöq­təsində sıfra bərabər, ikinci tərtib törəməsi həmin nöq­tə­də müs­bətdirsə, onda nöq­təsi funk­siyanın mi­ni­mumu, əgər mənfi­dir­sə, onda mak­simum nöqtəsidir.
○ , olsun. Bu onu göstərir ki, olduğundan hər-hansı intervalında artandır, lakin və intervalında , -də isə olduğundan nöqtəsindən keçdikdə özünün işarəsini mənfidən müsbətə dəyişir, yəni verilən funksiyanın minimum nöqtəsidir. və halı üçün də teoremi analoji olaraq isbat etmək olar. Qeyd edək ki, bu halda böhran nöqtəsi diferensiallanan funk­si­ya­nın ekstremum nöqtəsi deyilsə, onda bu nöqtə funksiyanın əyilmə nöqtəsidir ●
⊳Məsələ 1. İstehsalçı öz məhsulunu - hər məhsul vahidi­ni qiymətinə satır. Məhsulun istehsal xərci kubik funksiya asılılığı ilə verildiyini bilərək məh­sulun optimal istehsal həcmini və buna uyğun gəlirini he­sab­layın.
⊳ Məhsulun istehsal həcmini qəbul etməklə gəlir funk­si­yasını tərtib edək:

Burada məhsulun satışından gələn gəlirdir.
1)
2) Böhran nöqtələrini tapaq:

buradan ikinci böhran nöqtəsi məsə­lə­nin şərtinə görə mənasızdır).
3) və olduqda ikinci tərtib törə­mə­nin işarəsini müəyyən edək. olduğundan olur. (baxılan halda ixtiyari üçün ). Ona görə də qiymətində gəliri maksimum olur.
4) Funksiyanın maksimumunu (gəlirin maksimal həcmini) ta­paq.
►


3. Funksiyaların araşdırılması və qrafiklərinin
qurulmasının ümumi sxemi.
Funksiyaları araşdırmaq və onların qrafiklərini qurmaq üçün aşağıdakı ümumi sxemdən istifadə etmək olar:
1. Funksiyanın təyin oblastı tapılır.
2. Funksiyanın tək, cüt və periodik olması yoxlanılır.
3. Funksiyanın kəsilməz olduğu oblastlar, kəsilmə nöqtələri (əgər varsa) tapılır, kəsilmə nöqtələrinin xarakteri müəyyən­ləş­di­rilir;
əyrisinin asimptotları tapılır.
4. Funksiyanın ekstremumu və monotonluq intervalları tapılır.
5. Funksiyanın qabarıqlıq, cöküklük intervalları və funksiya əyrisinin əyilmə nöqtələri tapılır.
6. Funksiya qrafikinin koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələri, funksiya qrafikinin dəqiqləşdirilə bilən əlavə nöqtələri tapılır.
Bunların nəticəsində alınan məlumatlara əsasən funksi­ya­nın qrafiki qurulur.
Misal 4. funksiyasını araşdırın və qra­fikini qurun.
⊳ 1. funksiyası bütün ədəd oxunda təyin olu­nub və kəsilməzdir.
2. Funksiya nə tək, nə də cütdür, dövrü deyil.
3. Şaquli asimptotu yoxdur.



Beləliklə, funksiya qrafikinin iki maili asimptotu var: ; .
4. törəməsi hər yerdə var; o, nöq­tələrində sıfra çevrilir. nöqtələri kritik nöqtələrdir. Ikinci tərtib törəmənin işarəsini həmin nöqtələrdə araşdıraq:
; ;
Beləliklə, maksimum nöqtəsidir:
; ; və intervalında olduğundan funksiya artır; intervalında olduğundan funksiya azalır.
5. . Bu törəmə bütün nöqtələrdə movcuddur. nöqtəsində isə sıfra çevrilir. Bu nöqtənin sağ və solunda -in işarəsini təyin edək: və olduğundan nöqtəsi funksiya qrafikinin əyilmə nöqtəsidir.
intervalında olduğundan funksiya həmin inter­val­da qabarıq, intervalında isə olduğundan çö­kük­dür (şəkil 16.16) ►
Misal 5. funksiyasını araşdırın və qrafikini qurun.
⊳ 1. Təyin oblastı: .
2. olduğundan funksiya təkdir və onun qrafiki koordinat başlanğıcına nəzərən simmetrikdir.
3. Funksiya -in bütün həqiqi qiymətlərində təyin olun­du­ğun­dan onun şaquli asimptotu yoxdur.
4. Funksiyanın sonsuzluqda dəyişmə xarakteri:

Verilən funksiya tək funksiya olduğundan , yə­ni düz xətti (absis oxu) onun üfqi asimptotudur.
5. Ekstremum və monotonluq intervalları:
.
olduqda olur, yəni , funk­si­yanın böhran nöqtələridir. Törəmənin işarələri aşağıda qrafik olaraq göstərilmişdir.
Beləliklə, minimum nöqtəsi, isə maksi­mum nöqtəsidir və
,

Funksiya və intervallarında azalır, intervalında isə artır.
6. Qabarıqlıq, cöküklük intervalları və əyilmə nöqtələri:
;
və olduqda olur. İkinci tərtib tö­rə­mələrin işarə dəyişmələri aşağıda göstərilmişdir:
Beləliklə, funksiya əyrisi və intervallarında çökük, və intervallarında qabarıqdır, , nöqtələri isə əyilmə nöqtələridir.
7. . tənliyinin kimi yeganə həlli var, yəni funksiya əyrisi koordinat oxlarını koordinat başlanğıcında kəsir.
Funksiyanın qrafiki şəkil 16.17-də təsvir olunub ►