Azərbaycan respublikasi təhsil naziRLİYİ azərbaycan döVLƏT İqtisad universiteti nəzdində

Ardıcıllığın limiti məktəbdə çoxdan öyrənmə obyektidir. Pe- daqoji – riyazi ədəbiyyatda ardıcıllığın limiti anlayışının məktəbdə öyrənilməsinə aid müxtəlif nöqteyi-nəzərləri əks etdirən metodik işlər vardır¹. Bu fikirlərin müqayisəli təhlili tədrisə hazırlaşanlar üçün şüb- həsiz ki, faydalıdır. Bunu onlara sərbəst iş kimi tapşırmaq olar.

Ardıcıllığın limiti anlayışının daxil edilməsi prosesinin müm- kün olan metodik sxemlərindən birini göstərək.

Ardıcıllığa aid müxtəlif misalları və onların ədəd düz xətti üzərində təsvirini nəzərdən keçirməklə işə başlamaq məsləhətdir.

(1) 1, 2, 3,..., n,...

(2)

1, ¹

2

, ¹ ,...,

3

¹ ,...

n

(3) 1, 4, 9,16,..., n ² ,...

1. 
   
   

1, ¹ ,

4

¹ ,...,

9

¹ ,...

_n 2

(5)  2, 4,  8,...,  1ⁿ  2ⁿ ,...

(6)

1 _{, } 1

2 4

, ¹ ,...,

8

 1^n1  ¹

₂n

,...

(7)

1 _, 2 _,

2 3

³ ,...,

4

n

n  1

,...

(8)  1, 1,  1,...,  1ⁿ ,...

(9)

¹ ,  ¹ , ¹ ,...,  1^{n1 1} ,...

10 10

Bu vəziyyət riyazi olaraq məhdud və qeyri-məhdud anlayışları vasitəsilə izah edilir. Məhdudluq və qeyri-məhdudluğun intuitiv başa düşülmələrindən (təsəvvüründən) istifadə edərək biz aşağıdakı dəqiq anlayışlara gəlirik.

a_n  - məhdud ardıcıllıqdır: l  0na_n  l

a_n  - qeyri məhdud ardıcıllıqdır: l  0na_n  l və ya

l  0n a_n  l

(1)-(10) ardıcıllıqlarından məhdud və qeyri-məhdud ardıcıllıqları ayırdıqdan sonra məhdud ardıcıllıqların özünü aparmasını daha ətraflı təhlil etmək təbiidir.

Bu təhlilə əsasən belə nəticəyə gəlirik ki, məhdud ardıcıllıqlar da “özlərini” həmişə “eyni” aparmırlar.

Məsələn (2), (4), (6), (7) ardıcıllıqlarının hər birinin özünü aparma- sında (8), (9) məhdud ardıcıllıqlarında olmayan mühüm xüsusiyyətlər müəyyən edilir, belə ki: bu ardıcıllıqların hədləri ardıcıllığın hədlərinin n nömrəsinin artması ilə bir nöqtənin ətrafına “yığılırlar” , hamısı bu nöqtəyə yaxınlaşır, hamısı bu nöqtə ilə təsvir olunan ədəddən çox az fərqlənir.

Bütün bu və başqa ifadə üsulları əlbətdə dəqiq deyil: onlar yalnız konkret vəziyyətlərin müşahidəsi nəticəsində yaranmış intuitiv anlayışları izah edir.

Hər hansı məhdud ardıcıllığın özünü aparmasındakı müəyyən edil- miş xüsusiyyətlərin dəqiq riyazi şərhinə keçmək üçün hər hansı konkret misala ətraflı baxmaq lazımdır.

1. 
   Nümunə olaraq aşağıdakı qayda ilə alınan cizgilənmiş sahələr ardıcıllığına baxaq (Şəkil 11). Birinci kvadratın yarısı cizgilənir, hər bir sonrakında isə əvvəlki kvadratın cizgilənməsinin qalan hissəsinin yarısı cizgilənir.
   

Bu prosesin sonsuz olduğunu təsəvvür edərək və bir kvadratdan digərinə keçdikdə cizgilənmiş sahələrin necə dəyişdiyini müşahidə edərək asanlıqla müəyyən etmək olar ki, cizgilənmiş n S , S , S ,..., S 1 2 3 sahələri ardıcıllığı 1) artandır (hər bir sonrakı cizgilənmiş sahə əvvəlkindən böyükdür); 2) (∀ )[ < 1] n Sn olduğundan məhduddur (cizgilənmiş ixtiyari sahə kvadratın 1-ə bərabər qəbul edilən sahəsindən kiçikdir); 3) Cizgilənmiş sahələr 1-ə istənilən qədər “yaxınlaşır”, yəni sahələrin cizgilənməsi prosesini kifayət qədər davam etdirməklə 1-dən istənilən qədər az fərqlənən sahə ala bilərik. Başqa sözlə desək, əvvəlcədən istənilən qədər kiçik müsbət ε ədədi versək, ardıcıllığın elə həddini tapmaq olar ki, 1-dən fərqi ε -dan kiçik olar. Baxılan vəziyyəti digər analitik aspektdə öyrənmək məqsədəuyğundur. Cizgilənmiş sahələrin qiymətlərini asanlıqla tapmaq olar:

Fərqin əvvəlcədən verilmiş  ədədindən kiçik olmasını istəyiriksə,

yəni

¹  

₂n

olmasını istəyiriksə, aydındır ki,

n  log ¹

2 _

götürmək

kifayətdir. Alınmış münasibət həmin ardıcıllıq hədlərini 1-dən istənilən qədər az fərqlənməsi haqqındakı bizim intuitiv fərziyyəmizi təsdiq edir və dəqiqləşdirir.

Həmin vəziyyəti ardıcıllığın hədlərinin düz xəttin nöqtələri şəklin- də təsviri nəticəsində alınan həndəsi mənzərə ilə göstərməklə d\ nəzər- dən keçirmək məqsədəuyğundur. (Şəkil 12)

Ardıcıllığın hədlərini təsvir edən nöqtələrin 1 nöqtəsi ətrafına “top- lanması” müəyyən edilir, yəni hər hansı həddən başlayaraq sağ ucu 1 nöqtəsində olan ixtiyari kifayət qədər kiçik parçada ardıcıllığın bütün hədləri, bu parçanın xaricində isə sonlu sayda hədlər yerləşir. Məsələn

uzunluğu   ¹

10

bərabər parçanı götürsək, onda onun xaricində ardı-

cıllığın birinci üç həddi, daxildə isə dördüncüdən başlayaraq bütün

hədlər yerləşir;  

1

100

götürdükdə, onun xaricində əvvəldən 6 hədd,

daxildə isə bütün qalanları yerləşir.

Aydındır ki,  çox kiçik seçsək, bu parçanın xaricində ardıcıllığın

çox hədləri, lakin həmişə sonlu saydası, daxilində isə hər-hansı həddən başlayaraq hamısı olar.

Qeyd etmək lazımdır ki, göstərilən halda ardıcıllığın hədləri hamısı 1 dən solda yerləşməklə onun ətrafında toplanır (çünki nS_n  1).

Burada hədləri sağda və ya hər iki tərəfdə yerləşməklə nöqtə ətrafını yığılan (toplanan) ardıcıllıqlara misallar göstərmək lazımdır.

Məsələn,

1, ¹

2

, ¹ ,...,

3

¹ ,...

n

ardıcıllığının hədləri O nöqtəsindən

sağda yerləşməklə onun ətrafına toplanır, _{1, } ¹

, ¹ ,.

 ¹ ,...,  1^{n1 1} ,...

2 3 4 n

ardıcıllığının hədləri isə onun hər iki tərəfində yerləşməklə ona ya- xınlaşır.

1.