Bilimlendiriw ministrligi

7.8-keste 
x 
f 
(x-27,5) 
(x-27,5)
2
 
(x-27,5)
2
f 
x
2
 
x
2
f 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
17,5 
5 
-10 
100 
500 
306,25 
1531,25 
22,5 
15 
-5 
25 
375 
506,25 
7593,75 
27,5 
50 
0 
0 
0 
756,25 
37812,50 
32,5 
20 
+5 
25 
500 
1056.25 
21125,00 
37,5 
10 
+10 
100 
1000 
1406,25 
14062,50 
∑ 𝑓 =
100
- 
- 
2375 
- 
82125 
A=
5
,
27
 
bolǵanda dispersiyanı 

𝐴
2
esaplaymız: 

𝐴
2
=
2375
100
= 23,75

𝐴
2
=

2
+
(
𝑥
̅
− 𝐴
)
2
= 23,18 +
(
28,25 − 27,50
)
2
= 23,18 + 0,75
2
≈ 23,75

2
=

𝐴
2
−
( 𝑥̅ − 𝐴)
2
= 23,75 − (28,75 − 27,50)
2
≈ 23,18
Endi 

2
= 𝑥
2
̅̅̅ − (𝑥̅)
2
tı kórip shıǵamız. Bunıń ushın joqarıdaǵı kestedegi 6 
hám 7-baǵanalarındaǵı kórsetkishlerdi esaplaymız, sońınan formula tiykarında 
dispersiyanı anıqlaymız: 
𝑥
2
=
∑ 𝑥
2
𝑓
∑ 𝑓
=
82125
100
= 812,25

---

119 
𝑥̅
2
= (
∑ 𝑥𝑓
∑ 𝑓
)
2
= (
2825
100
)
2
= 28,25
2
≈ 798,06

2
= 𝑥
2
̅̅̅ − (𝑥̅)
2
= 812,25 − 798,06 ≈ 23,18
Bul ámeliyatta keń qollanıladı.
Dispersiyanı ápiwayılastırıp esaplawdıń jáne 
bir usılı moment yaki shártli nolden baslap sanaw usılı bolıp tabıladı (7.9-keste).
7.9-keste 
x 
f 
𝑥
1
=
𝑥 − 𝑥
0
𝑛
x
0
=27,5; n=5
𝑥
2
𝑓 = (
𝑥 − 𝑥
0
𝑛
) ℎ
(𝑥
1
)
2
 
(𝑥
1
)
2
𝑓 =
𝑥 − 𝑥
0
𝑛
𝑓
17,5 
5 
-2 
-10 
4 
20 
22,5 
15 
-1 
-15 
1 
15 
27,5 
50 
0 
0 
0 
0 
32,5 
20 
+1 
+20 
1 
20 
37,5 
10 
+2 
20

4 
40 

100 
- 
+15 
- 
95 
Dispersiyanı moment usılında esaplaw tómendegi formula járdeminde 
ámelge asırıladı
:

2
= 𝑖
2
(𝑚
2
− 𝑚
1
2
) 
Demek, moment usılında dispersiya ekinshi tártiptegi moment penen birinshi 
tártiptegi moment kvadratınıń ortasındaǵı ózgerislerdiń kvadratqa kóterilgen aralıq 
kóbeymesine teń. Formulada 
𝑚
2
=
∑ 𝑥
1
2
𝑓
∑ 𝑓
– ekinshi tártipli moment, 
𝑚
1
2
=
(
∑ 𝑥
1
∙𝑓
∑ 𝑓
)
2
– birinshi tártipli moment kvadratı. 
Mısalımızda: 
𝑚
2
=
∑ 𝑥
1
2
𝑓
∑ 𝑓
=
95
100
= 0,95
𝑚
1
2
= (
∑ 𝑥
1
𝑓
∑ 𝑓
)
2
= (
15
100
)
2
= 0,15
2
= 0,0225

2
= 𝑖
2
(𝑚
2
− 𝑚
1
) = 5
2
∙ (0,95 − 0,0225) = 25 ∙ 0,9275 = 23,18
Bul nátiyjeni shártli nolden baslap sanaw usılı formulası járdemin de de alıw 
múmkin: 

2
=
∑(𝑥 − 𝐴)
2
𝑓
∑ 𝑓
− (𝑥̅ − 𝐴)
2
=
2375
100
− (28,25 − 27,50)
2
= 23,75 − (0,75)
2
= 23,18

---

120 
Bizdi ayırım jaǵdaylarda úyrenilip atırǵan belginiń ortasha muǵdarı emes, 
bálki toplam birlikleriniń qaysı bir bólimi ol yaki bul belgige iye ekenligi 
qızıqtıradı. Solardan, jámi islep shıǵarılǵan ónimde jaramsız ónim salmaǵı, ulıwma 
studentler ishinde prezident stipendiyasın alıwshı studentler salmaǵı, ulıwma 
qánigeler ishinde joqarı maǵlıwmatlı qániygeler salmaǵı usaǵanlar alternativ 
belgige mısal bola aladı. Alternativ belgi degende bir-birin qaytalamaytuǵın 
belgiler túsiniledi. Joqarıdaǵı mısalımızda jaramsız ónim jaramsızlıq belgisi menen 
sıpatlanǵanlıǵı ushın ol jaramlı emes. 
Toplamda bar bolǵan, yaǵnıy bizdi qızıqtıratuǵın belgi 1 menen,bar 
bolmaǵan belgi bolsa nol menen belgilenedi. Bar belginiń salmaǵı (
p)
menen, bar 
bolmaǵan belginiń salmaǵı bolsa 
(q)
menen belgilenedi. Sonda 
𝑝 + 𝑞 = 1
teń 
boladı. 
Tómendegi kesteni dúziw járdeminde alternativ belgi boyınsha dispersiyanı 
esaplaw tártibin kórip shıǵamız: 
x 
f 
xf 
𝑥 − 𝑥̅
 
(𝑥 − 𝑥̅)
2
 
(𝑥 − 𝑥̅)
2
𝑓
 
Bar belgi 
1 
P 
p 
1-p=q
q
2
q
2
p
 
Bar 
bolmaǵan 
belgi 
0 
1 
0 
0-p= 
p
2
 
p
2
q
Jámi 
- 
1 
p 
- 
- 
q
2
p+
p
2
q
𝑥 =
∑ 𝑥𝑓
∑ 𝑓
=
𝑝
1
= 𝑝
𝑥̅ =
∑(𝑥 − 𝑥̅)
2
∑ 𝑓
=
𝑞
2
𝑝 + 𝑝
2
𝑞
1
= 𝑞
2
𝑝 + 𝑝
2
𝑞 = 𝑝𝑞(𝑞 + 𝑝) = 𝑝𝑞
Solay etip, alternativ belgi boyınsha dispersiya úyrenilip atırǵan belgi 
salmaǵına bir sanına jetkenshe bolǵan muǵdardaǵı sannıń kóbeymesine teń. Bunı 
tómendegishe jazıw múmkin: 

𝑝
2
= 𝑝𝑞 = 𝑝(1 − 𝑞)
Máselen, zavodta jumısshılardıń 64 procenti joqarı hám orta maǵlıwmatqa 
iye bolsa, bul jerde alternativ belgi boyınsha dispersiya neshege teń? 
SHeshim: 
p=0,64
; 
𝑞 = 1 − 𝑝 = 1 − 0,64 = 0,36

---

121 
demek,

𝑝
2
= 𝑝𝑞 = 𝑝(1 − 𝑞) = 0,64 ∙ 0,36 = 0,2304
p+q 
qosındısı 1 den úlken bolmasa, (
pq)
kóbeymesi 0,25 ten hesh qashan 
úlken bolmaydı. Sebebi alternativ belgi qansha kishi bolsa, variaciya sonsha 
kúshsiz, toplam bolsa usı úyrenilip atırǵan belgi boyınsha birdey. 
Eger alternativ belgide birdey áhmiyetke iye bolsa, onda variaciya júdá 
kúshli boladı. Máselen, bar belgi salmaǵı (
p
) 50 procentti, usı belgi 
sıpatlanbaytuǵın alternativ salmaǵı 
(q) 
da 50 procentti qurasın. Onda

2
= 𝑝𝑞,
𝑦ǵ𝑛𝚤𝑦 

2
= 𝑝𝑞 = 0,5 ∙ 0,5 = 0,25 
Bul alternativ belginiń eń joqarı dispersiyası bolıp esaplanadı. 
Tayanısh sózler 
variaciya
ulıwma dispersiya
variacion keńlik
gruppalı dispersiya 
ortasha absolyut ózgeris 
ortasha kvadrat ózgeris 
 
ortasha kvadratlıq ózgeris 
 nolge teń gipoteza 
alternativ belgi 
variaciya koefftcienti 
erkin ózgeriwshi birlikler 
Qadaǵlaw ushın sorawlar 
1. Statistikada variaciya degende ne túsinilde? 
2. Variaciya qanday kórsetkishler menen хarakterlenedi? 
3. Variyacion keńislik hám ortasha absolyut ózgeris kórsetkishleri bir-birinen ne 
menen parq qıladı? 
4. Disperisiya dep nege aytıladı? Ol qalay esaplanadı? 
5. Ortasha kvadratlıq ózgeris qanday kórsetkish? 
6. Variaciya koefficientin esaplaw zárúrligi nede? 
7. Ápiwayı qatarlarda variaciya kórsetkishleri qalay esaplanadı? 
8.Salmaqlı qatarlarda variaciya kórsetkishleri qalay esaplanadı? 
9. Dispersiyalıq analiz járdeminde qanday máseleler sheshiledi? 
10. Disperisiya qanday túrlerge bólinedi? Olar qalay esaplanadı? 
11. Disperisyalıq analiz qalay ámelge asırıladı? 

---

122 
12. «Nolge teń gipoteza» degende neni túsinesiz? Kvadratlar kestesi ne ushın 
dúziledi? 
13. Disperisiyalar boyınsha ózgerisler kvadratları qosındıları qalay anıqlanadı? 
14. Disperisiyalardı qosıw qaǵıydası haqqında ne bilesiz? 
15. Erkin ózgeriwshi birlikler sanı degende neni túsinesiz? 
16. Erkin ózgeriwshi birlikler sanına tuwra keliwshi disperisiya qunı qalay 
anıqlanadı? 
17. Disperisiya qanday matemetikalıq qásiyetlerin bilesiz? 
18. Birinshi tártipli hám ekinshi tártipli moment usılında dispersiya qalay 
esaplanadı? 
19. Alternativ belgi boyınsha dispersiyanı esaplaw múmkin be? 
20. 
«p»
hám 
«q»
kóbeymesi 0,25 ten úlken bolıwı múmkin be? Olardıń qosındısı 
neshege teń?