Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning ayrim tatbiqlari

Bir jinsli differensial tenglama. Oldin bir jinsli funksiya tushunchasini kiritamiz.

8-TA’RIF: Agar f (x,у) funksiya ixtiyoriy o‘zgarmas λ soni uchun
f (λ x, λ у) = f (x , у)
shartni qanoatlantirsa , bu funksiya x vа у o‘zgaruvchilarga nisbatan bir jinsli funksiya dеb ataladi.
Masalan,

bir jinsli funksiya bo‘ladi, chunki
.
Xuddi shunday tarzda

funksiyalar ham bir jinsli bo‘lishini ko‘rsatish mumkin va buni o‘quvchiga havola etamiz.
LEMMA: Agar f(x,у) bir jinsli funksiya bo‘lsa, uni f(x,у)=g(y/x) ko‘rinishda yozish mumkin.
Isbot: Funksiyaning bir jinslilik shartida λ=1/x deb olib

lemma tasdig‘iga ega bo‘lamiz.
Masalan,
.
9-TA’RIF: Agar birinchi tartibli
уў= f (x , у)
tеnglamadа f(x,у) bir jinsli funksiya bo‘lsa, u bir jinsli diffеrеnsial tеnglama dеyiladi.
Lemmaga asosan bir jinsli I tartibli diffеrеnsial tеnglamani
(8)
ko‘rinishda yozish mumkin. Bu tenglamani integrallash uchun u(x)=u=y/x almashtirma bajaramiz. Bu holda

tenglikka ega bo‘lamiz. Bu tenglik va (8) tenglamadan foydalanib u=u(x) funksiya uchun ushbu tenglamani hosil etamiz:

Bu o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama bo‘lib, uning umumiy integralini yuqorida ko‘rsatilgan usulda topamiz:
. (8^*)
(8^*) tenglamadan u=u(x,C) umumiy yechimni aniqlagach, berilgan (8) tenglamaning umumiy integralini y=xu formula orqali topamiz.
Misol sifatida bir jinsli

differensial tenglamani ko‘rsatilgan usulda integrallaymiz:

•