Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning ayrim tatbiqlari

Mahsulot narxi haqidagi marketing masalasi. Bozorda t vaqt o‘tishi bilan biror mahsulot narxi p(t), unga talab h(t) va taklif s(t) funksiyalar bo‘yicha o‘zgarib boradi. Narx funksiyasi, talab va taklif funksiyalari orasidagi bog‘lanishni topish talab etiladi.

Yechish: Bozor qonuniyatlariga ko‘ra ∆t vaqt oralig‘ida narxning o‘sishi ∆p talabni taklifdan qanchalik darajada kattaligiga va shu vaqt oralig‘iga to‘g‘ri proporsional bo‘ladi. Agar proporsionallik koeffitsiyenti k bo‘lsa, bu qonuniyatni matematik ko‘rinishda ifodalab, undan quyidagi natijalarni olamiz:
.
Bunda eng oxirgi tenglik p=p(t) narx funksiyasiga nisbatan eng sodda differensial tenglama bo‘lib, undan

formulani hosil qilamiz. Bu formula bilan ifodalanadigan iqtisodiy jarayon Evans modeli deb ataladi.

• 
  Mahsulot ishlab chiqarish hajmi haqidagi iqtisodiy masala. Biror tarmoqda t vaqtda ishlab chiqarilgan mahsulot hajmini y=y(t) funksiya bilan belgilaymiz. Ishlab chiqarilgan mahsulot bozorda o‘zgarmas p narxda sotiladi deb olamiz. Ishlab chiqarishni kengaytirish uchun sarflanadigan investitsiya hajmi t vaqt bo‘yicha I=I(t) funksiya bilan aniqlansin. Ishlab chiqarishni tabiiy o‘sish modelida mahsulot hajmini ifodalovchi y=y(t) funksiyani topish talab etiladi.
  

Yechish: Ishlab chiqarishni tabiiy o‘sish modelida quyidagi ikkita shart qo‘yiladi:
a) mahsulot ishlab chiqarish tezligi, ya’ni ishlab chiqarish sur’ati, investitsiya hajmiga proporsional (proporsionallik koeffitsiyenti α) :
;
b) investitsiya hajmi olinayotgan Y(t) foydaning ma’lum bir qismiga teng, ya’ni
.
Bunda m (investitsiyalash normasi) 0<m<1 shartni qanoatlantiruvchi biror o‘zgarmas son.
Bu shartlardan mahsulot hajmi y=y(t) uchun
y′=αmpy=ky (k=αmp)
differensial tenglamaga ega bo‘lamiz. Bu tenglama oldin ko‘rilgan demografik masalada paydo bo‘lgan edi va unda umumiy yechim

ko‘rinishda bo‘lishi ko‘rsatilgan edi. Agar y(t₀)= y₀ boshlang‘ich shart berilgan bo‘lsa, mahsulot ishlab chiqarish hajmi

funksiya orqali aniqlanadi.
Izoh: Yuqorida biz mahsulot narxi p o‘zgarmas deb oldik. Amalda bu shart ma’lum bir qisqa vaqt davri uchun o‘rinli bo‘ladi. Shu sababli ko‘pincha ishlab chiqarishni raqobatli bozor sharoitida o‘sish modelidan foydalaniladi. Bu modelda mahsulot hajmi y o‘sib borishi bilan uning narxi p kamayib boradi, ya’ni ma’lum bir p=p(y) kamayuvchi funksiya bo‘yicha o‘zgarib boradi deb olinadi. Bu holda mahsulot hajmi funksiyasi y=y(t)
y′=αmp(y)y
o‘zgaruvchilari ajraladigan differensial tenglama orqali aniqlanadi. Bu tenglamaning umumiy yechimi

tenglikdan topiladi. Jumladan, p(y)=b–ay bo‘lgan holda y=y(t) logistik funksiyadan(VIII bob,§5 ga qarang) iborat bo‘ladi.
Masalan, p(y)=3–y , α=1.5 , m=0.4, y(0)=1.5 bo‘lganda


umumiy yechimni olamiz. y(0)=1.5 boshlang‘ich shartga asosan bu yerdagi o‘zgarmas son qiymati C₂= –1 ekanligini topamiz. Demak, berilgan shartlarda mahsulot hajmi

funksiya bilan topiladi.
I tartibli differensial tenglamalar yordamida radioaktiv moddaning parchalanishi, reaktiv harakat, kimyoviy reaksiyada modda miqdori, jismning sovishi, quymaning qizishi, ilmiy axborot oqimi, berilgan elastiklikka ega bo‘lgan talab funksiyasini topish, talab va taklif funksiyasini narxning o‘zgarish tezligiga bog‘liq holda qarash kabi masalalar ham o‘z yechimini topadi.


XULOSA
Noma’lum funksiyaning hosilalari qatnashgan tenglama differensial tenglama deb ataladi. Differensial tenglamalardan fizika, iqtisodiyot, kimyo, mexanika va boshqa fanlarga doir juda ko‘p masalalarni yechishda keng qo‘llaniladi. Vaqt bilan bog‘liq turli texnologik va iqtisodiy jarayonlar ham matematik usulda differensial tenglamalar orqali tavsiflanadi. Differensial tenglama tartibi unda qatnashgan noma’lum funksiya hosilasining eng katta tartibi bilan aniqlanadi. Differensial tenglamalar yechimining mavjudlik sharti Koshi teoremasi orqali ifodalanadi. Differensial tenglamalar yechimini topish jarayoni uni integrallash deyiladi. Differensial tenglamani integrallashning umumiy usuli mavjud emas. Bundan tashqari juda ko‘p differensial tenglamalarning yechimi elementar funksiyalarda ifodalanmaydi. Shu sababli differensial tenglamalarning ayrim xususiy hollari uchun ularni integrallash usulini ko‘rsatish mumkin. Bu yerda nisbatan soddaroq bo‘lgan I tartibli differensial tenglamalar qaralib, ulardan o‘zgaruvchilari ajralgan, o‘zgaruvchilari ajraladigan, bir jinsli, to‘liq differensialli, chiziqli tenglamalarni va Bernulli tenglamasini integrallash usuli ko‘rsatilgan. Bu tenglamalarni demografiya, marketing va iqtisodiyot masalalarini yechishga tatbiqlari keltirilgan.