Birinchi tartibli differensial tenglamalar va ularning ayrim tatbiqlari

BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR
VA ULARNING AYRIM TATBIQLARI

• 
  Differensial tenglamalar va ular bilan bog‘liq tushunchalar.
  
• 
  Ayrim I tartibli differensial tenglamalar va ularni integrallash.
  
• 
  I tartibli differensial tenglamalarning ayrim tatbiqlari.
  

1. 
   Differensial tenglamalar va ular bilan bog‘liq tushunchalar.
   

Matematika, mexanika, fizika, iqtisodiyot va boshqa fanlarning bir qator murakkab masalalarida o‘rganilayotgan obyektning asosiy xususiyatlarini ifodalovchi qonunlar qaralayotgan funksiyani uning hosilalari bilan bog‘lanishini ko‘rsatuvchi tenglamalar orqali ifodalanadi.
1-TA’RIF: Erkli o‘zgaruvchi x, noma’lum funksiya y=y(x) va uning hosilalari y′, y′′,∙∙∙, y⁽ⁿ⁾ orasidagi bog‘lanishni ifodalovchi tenglik oddiy differensial tenglama deb ataladi.
Masalan,

oddiy differensial tenglamalar bo‘ladi. Bu misollardan ko‘rinadiki, oddiy differensial tenglamada erkli o‘zgaruvchi x , noma’lum y funksiyaning o‘zi, hosilalarning ayrimlari qatnashmasligi mumkin.
Izoh: Ko‘p o‘zgaruvchili y=y(x₁, x₂, ∙∙∙, x_n ) funksiya va uning xususiy hosilalari qatnashgan differensial tenglamalarni ham qarash mumkin. Ular xususiy hosilalali differensial tenglamalar deyiladi. Biz faqat oddiy differensial tenglamalarni qaraymiz va kelgusida ularni differensial tenglama, ba’zan esa qisqacha tenglama deb yuritamiz.
2-TA’RIF: Noma’lum funksiyaning differensial tenglamada qatnashuvchi hosilalarining eng yuqori tartibi bu differensial tenglamaning tartibi deyiladi.
Masalan, yuqorida keltirilgan differensial tenglamalar mos ravishda I, II va III tartiblidir.
Umumiy holda n-tartibli differensial tenglama
(1)
ko‘rinishda yoziladi. Bunda F(∙) biror n+2 o‘zgaruvchili funksiyani ifodalaydi. Odatda (1) tеnglamani у⁽ⁿ⁾ hosilaga nisbatan yеchish mumkin deb hisoblanadi va
(2)
kabi yoziladi. (2) yuqori tartibli hosilaga nisbatan yechilgan differensial tenglama deb ataladi. Masalan, yuqorida (1) ko‘rinishda yozilgan differensial tenglamalarni

kabi (2) ko‘rinishda ifodalash mumkin.
3-TA’RIF: Agar biror φ(x) funksiya n marta differensiallanuvchi bo‘lib, bu funksiya va uning hosilalari (1) yoki (2) tenglamaga qo‘yilganda bu tenglama ayniyat ko‘rinishiga kelsa, unda φ(x) funksiya (1) yoki (2) differensial tenglamaning yechimi deyiladi.
Masalan, φ(x)=x² +3x–2 funksiya II tartibli

differensial tenglamaning yechimi bo‘ladi. Haqiqatan ham,

.
4-TA’RIF: (1) yoki (2) differensial tenglamaning yecimini topish uni integrallash, topilgan y=φ(x) yechim esa uning integrali deb aytiladi.
Bu ta’rif shu bilan asoslanadiki, differensial tenglamani yechish integrallash amali orqali bajariladi va uning yechimi qandaydir funksiyaning integrali kabi ifodalanadi. Bunga kelgusida ishonch hosil etamiz.
Bu paragrafda biz I tartibli va hosilaga nisbatan yechilgan, ya’ni
(3)
ko‘rinishdagi differensial tenglamalar bilan shug‘ullanamiz. Bu tenglamani, hosilani differensial yordamida ifodalash orqali,

ko‘rinishda ham ifodalash mumkin. Bu tenglamada noma’lum funksiyaning differensiali qatnashadi va bu bilan uni differensial tenglama deb atalishi asoslanadi.
Birinchi navbatda (3) tenglama yechimga ega yoki yo‘qligi, agar yechim mavjud bo‘lsa, uning yagona yoki yagonamasligi masalasini qaraymiz. Bu maqsadda dastlab quyidagi tushunchani kiritamiz:
5-TA’RIF: (3) differensial tenglamani berilgan x₀ nuqtada berilgan y₀ qiymatni qabul qiluvchi y=y(x) yechimini topish Koshi masalasi deyiladi.
Bu ta’rifdagi shart
y(x₀)= y₀ yoki (4)
ko‘rinishda yoziladi va boshlang‘ich shart deb ataladi.
1-TEOREMA (Koshi teoremasi): Agar (3) tenglamada f(x,y) funksiya va uning y bo‘yicha xususiy hosilasi XOY tekislikka tegishli (x₀,y₀) nuqtaning biror ochiq atrofida uzluksiz bo‘lsa , unda bu tenglamaning (4) boshlang‘ich shartni qanoatlantiruvchi, ya’ni (3)-(4) Koshi masalasining yechimi mavjud va bu yechim yagonadir.
Bu teorema Koshi masalasi uchun mavjudlik va yagonalik teoremasi deb yuritiladi va uni isbotsiz qabul etamiz .
Izoh: Agar 1-teorema shartlari bajarilmasa, Koshi masalasi yechimining yagonaligi haqidagi tasdiq bajarilmasligi mumkin. Masalan,

Koshi masalasi uchun ikkita y=(x/5)⁵ va y=0 funksiyalar yechim bo‘lishini tekshirib ko‘rish mumkin. Bunga sabab shuki, bu tenglamada bo‘lib, uning xususiy hosilasi boshlang‘ich shartdagi (0,0) nuqtada uzluksiz emas.
Koshi teoremasidan II tartibli differensial tenglamaning o‘zi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lishi va ular bitta ixtiyoriy C o‘zgarmas soniga bog‘liq bo‘lgan y=φ(x,C) ko‘rinishdagi funksiyalardan iborat bo‘lishi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, turli (4) boshlang‘ich shartda Koshi masalasining yechimi turli yechimlarga ega bo‘ladi. Boshlang‘ich shartlarni esa cheksiz ko‘p ko‘rinishda tanlash mumkin va shu sababli (3) differensial tenglama yechimi ham cheksiz ko‘p bo‘ladi.
Masalan, y=x²+C, C(–∞, ∞) funksiyalar I tartibli y′=2x differensial tenglamani qanoatlantirib, ular bu tenglamaning cheksiz ko‘p yechimni tashkil etishini tekshirib ko‘rish qiyin emas.
6-TA’RIF: Bitta ixtiyoriy o‘zgarmas C soniga bog‘liq y=φ(x,C) funksiya I tartibli (3) differensial tenglamaning umumiy yechimi deyiladi, agar u quyidagi ikki shartni qanoatlantirsa:
1) bu funksiya C o‘zgarmas sonning har bir qiymatida (3) tenglamaning yechimi bo‘ladi ;
2) berilgan (4) boshlang‘ich shartda C o‘zgarmasning shunday C₀ qiymati topiladiki, y=φ(x,C₀) funksiya bu boshlang‘ich shartni qanoatlantiradi .
I tartibli differensial tenglamaning umumiy yechimi har doim ham y=φ(x,C) ko‘rinishda oshkor ifodalanmaydi. Ko‘p hollarda umumiy yechim Ф(x,y,C)=0 oshkormas ko‘rinishda topiladi va undan y umumiy yechimni har doim ham elementar funksiyalar orqali ifodalab bo‘lmaydi. Bunday hollarda Ф(x,y,C)=0 differensial tenglamaning umumiy integrali deb ataladi.
7-TA’RIF: Differensial tenglamaning umumiy y=φ(x,C) yechimidan C o‘zgarmas sonning aniq bir C₀ qiymatida hosil bo‘lgan y=φ(x,C₀) funksiya xususiy yechim deyiladi.
Masalan, yuqoridagi differensial tenglama uchun y=x²+C – umumiy yechim, y=x² (C=0), y=x²+1 (C=1), y=x² –3.5 (C=–3.5) kabi funksiyalar xususiy yechimlar bo‘ladi.

2.